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Statistik

A) Zufallszahlen und Verteilungen

B) Mittelwert und Standardabweichung

C) Schwellwerte

D) Hausaufgaben
 

A) Zufallszahlen und Verteilungen

T6A1) Zufallszahlen werden in Matlab mit zwei Funktionen erzeugt: rand und randn. Beide Funktionen bekommen als Eingaben die Dimensionen der Matrix mit Zufallszahlen, die sie erzeugen und zurueckliefern sollen. Erzeugen Sie sich einige Beispiele der Zufallszahlen:Was passiert, wenn man die Funktionen mehrfach hintereinander in gleicher Weise aufruft?
In welchen Bereich liegen die Werte fuer die beiden Funktionen?
Was koennte der Unterschied zwischen den beiden Funktionen sein?

T6A2)  Erzeugen Sie sich jeweils einen sehr langen Vektor (z.B. 10000 Punkte) mit jeder der beiden Funktionen rand und randn und schauen Sie sich die jeweilige Verteilung der Zufallszahlen mit dem Befehl hist an.
Was sind die unterschiede zwischen den beiden Verteilungen?
In seiner Standardversion teilt hist die Daten in 10 gleich grosse Bereiche ein, in denen jeweils die Anzahl der Datenpunkte gezaehlt werden. Beim Aufruf hist(v,n) teilt hist den Vektor v in n gleich grosse Bereiche ein. Sehen Sie sich die Verteilungen fuer verschiedene Werte von n an.

T6A3) Modifizieren Sie Ihre Zufallsvektoren, indem Sie sie
- mit verschiedenen Faktoren multiplizieren
- verschiedene Zahlen hinzuaddieren
Wie wirken sich diese Aenderungen auf die Verteilungen aus? 

T6A4) Die Funktion hist kann man auch auf Matrizen anwenden, dann  wird jede Spalte als Histogramm dargestellt. Erzeugen Sie sich eine Matrix mit zwei gegeneinander verschobenen Verteilungen und stellen diese grafisch dar.

T6A5) Wie erzeugt man eine bimodale Verteilung?

T6A6) Eine weitere Funktion, um Zufallszahlen zu erzeugen, ist die Funktion randperm. v=randperm(n) liefert einen Vektor der ganzen Zahlen von 1 bis n in zufaelliger Reihenfolge.

T6A7) Schreiben Sie eine Funktion wuerfel, die Ihnen eine ganze Zahl zwischen 1 und 6 zurueckgibt. Benutzen Sie diese Funktion in einer weiteren Funktion wuerfel_verteilung die als Eingabewert bekommt, wie oft gewuerfelt wird und als Ausgabe die Verteilung der erzielten Wuerfelergebnisse zurueckliefert.
Wie erzeugen Sie diese Verteilung mit den Ihnen bisher bekannten Methoden?
Eine bequeme Methode, um Verteilungen zu ermitteln, ist ebenfalls die Funktion hist. Wird diese mit einem Ausgabeargument aufgerufen, z.B. h=hist(v) stellt sie Ihr Ergebnis nicht grafisch dar, sondern gibt es als Vektor zurueck.
[drei verschiedene Loesungen aus dem Kurs: wuerfel.m]
[wuerfelverteilung.m]


B) Mittelwert und Standardabweichung

T6B1) Bei den oben betrachteten Verteilungen ist es relativ einfach den Mittelwert abzuschaetzen. Plotten Sie noch einmal Verteilungen vieler mit rand bzw randn erzeugter Zufallszahlen und versuchen Sie aus der Grafik abzuschaetzen:
Was ist der Mittelwert? Was ist die Standardabweichung?

 T6B2) Berechnen Sie Mittelwerte, Standardabweichungen, Varianzen, Minima und Maxima Ihrer beiden Vektoren mit mean, std, var, min und max.
Wie wirkt es sich auf diese Werte aus, wenn Sie eine feste Zahl zu den jeweiligen Vektoren addieren?
Wie wirkt sich eine Multiplikation mit einem Faktor aus?

T6B3) Laden Sie noch einmal den Vektor mit den Anzahlen Sonnenblummenkernen [sbkerne.mat]. Berechnen Sie Mittelwert, Varianz und Standardabweichung. Wie habe ich diesen Vektor erzeugt? (Nein, ich habe mich nicht in den Garten gesetzt und gezaehlt...)

T6B4) Fuer eine normalverteilte Zufallsvariable x entspricht die Wahrscheinlichkeitsdichte folgender Formel:

Normalverteilung

wobei μ den Mittelwert und σ die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung angibt.
Schreiben Sie eine Funktion, die mit dieser Formel fuer die Eingabeargumente x (ein Vektor, der den Definitionsbereich angibt, z.B. x=-4:0.01:4), Mittelwert und Standardabweichung die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung als Vektor zurueckgibt und als Kurve grafisch darstellt (bitte mit Titel und beschrifteten Achsen).
Spielen Sie etwas mit den Parametern Mittelwert und Standardabweichung. Wie veraendern diese die Kurve?
[wahrscheinlichkeitsdichte.m]

C) Schwellwerte

T6C1) Mit Hilfe von Schwellwerten kann man Bereiche eingrenzen, in denen man seine Daten betrachten moechte. Ein Beispiel dafuer haben wir vor ein paar Tagen schon gesehen, bei der Messung des pHwertes im Aquarium: [phWerte.mat]

Schreiben Sie Programme, die folgende Aufgaben fuer beliebige phWert-Vektoren loesen:
- Bestimmen Sie Minimum, Maximum, Mittelwert und Standardabweichung.
- Finden Sie heraus, an welchen Stellen in der Datei die "Ausreisser" liegen.
- Loeschen Sie die Ausreisser aus dem Vektor. Was muss man dabei tun, wenn man trotzdem die Information beibehalten moechte, zu welchem Zeitpunkt der Messreihe die einzelnen Datenpunkte jeweils gewonnen wurden?
[Kursloesung 1: phWertevert.m] 
[Kursloesung 2: Schwellenwerte_T6C1_kurs.m] 

T6C2) Betrachten wir die gestern geplotteten Daten aus dem Elektrophysiologie-Praktikum [stimulus.mat] und [antwort.mat] mal etwas naeher:
zu welchem exakten Zeitpunkt beginnt die Reaktion relativ zum Reiz?
a) Suchen Sie den Zeitpunkt "per Auge" in der Graphik, indem Sie den entsprechenden Bereich vergroessern. Es kann helfen, den Darstellungsmodus so umzustellen, dass die einzelnen Datenpunkte dargestellt werden.
b) Suchen Sie den Zeitpunkt mit einer Schwellwertfunktion. Was ist ein sinnvoller Schwellwert? Geben Sie den gefundenen Wert in ms an.
c) Suchen Sie auch den Zeitpunkt, wenn die Reaktion wieder endet.

T6C3) Bestimmen Sie Mittelwert und Standardabweichung der Reaktion der Modellzelle vor, waehrend und nach der Injektion des Strompulses. (Hier handelt es sich um eine Mittelung ueber die Zeit.)

D) Hausaufgaben

T6H1)Schreiben Sie eine Funktion lotto, die Ihnen einen Vektor mit 6 ganzen Zahlen zwischen 1 und 49 zurueckgibt.

T6H2) Im bereits benutzten Programm [vogelfang.m] werden drei verschiedene Arten von Zufallszahlen benutzt. Vollziehen Sie dieses Programm nach. Nehmen Sie schrittweise folgende Aenderungen vor:
a) Bei Amseln gibt es 60% Weibchen.
b) Bei Spatzen streut das Gewicht von Weibchen 3 mal mehr als das Gewicht von Maennchen.
c) Es kommen 25% Meisen und 25% Spatzen in der Gegend vor.

T6H3) Nehmen wir an, sie haben ein paar besonders empfindliche Fische in ihrem Aquarium, in dem die Messreihe [phWerte.mat] vorgenommen wurde. Diese Fische vertragen den Bereich von pH 6.5 bis pH 7.5 gut, sind aber darueber und darunter gefaehrdet. Plotten Sie die phWerte so, dass sie die Messwerte im Toleranzbereich mit blauen, die ausserhalb des Toleranzbereiches mit roten und die Messfehler mit schwarzen Symbolen darstellen.

[Kursloesung: T6H3_kurs.m] 

T6H4) Folgende Daten wurden im Rahmen eines F-Praktikums von zwei Teilnehmerinnen dieses Kurses gewonnen: [spikedaten_kurz.mat]. Es handelt sich dabei um intrazellulaere Messungen des Membranpotentials eines Blutegelneurons. Es wurden 10 Antworten dieser Zelle auf einen jeweils gleichen Reiz aufgezeichnet, einen Strompuls, dessen Zeitverlauf (in nA) im mitgespeicherten Vektor stimulus abgelegt ist. Das Neuron antwortet auf diesen Strompuls mit einer Depolarisation des Membranpotentials, die mit sogenannten "spikes" (Aktionspotentialen) ueberlagert ist. Die Daten wurden mit einer Frequenz von 10000 Datenpunkten pro Sekunde aufgenommen.
a) Schreiben Sie ein Skript, um sich alle Antwortspuren gemeinsam mit dem Zeitverlauf der Reizung anzusehen (das darf auch nacheinander sein).
b) Legen Sie "per Augenmass" eine Schwelle fest, mit der sich die Aktionspotentiale finden lassen. Achtung: jeweils am Ende des Strompulses gibt es in der Antwortspur ein Artefakt. Dieses wollen wir moeglichst nicht als Aktionspotential erkennen.
[spikedatenanalyse.m] 

T6H5) Schreiben Sie eine Funktion, die als Eingabeargumente die Matrix mit den Messdaten und einen Schwellwert bekommt und als Ausgabe einen Vektor liefert, wieviele Spikes in den einzelnen Durchlaeufen jeweils ausgeloest wurden.
Bestimmen Sie damit Mittelwert und Standardabweichung der Spikeanzahlen.
[spikes_zaehlen.m] 

Webmfqaster: /wmJut0nzrtta Kretzbeptvrgmdsce (jutta.krets6zberg@uol.debpk) (Stand: 07.11.2019)