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A) Die Matlab-Oberfläche und Matlab als Taschenrechner:

Matlab ist eine Programmierumgebung, die im wissenschaftlichen Bereich haeufig genutzt wird. Im Rahmen dieses Kurses werden wir nur einen kleinen Teil der Moeglichkeiten von Matlab ausschoepfen. Im ersten Schritt wollen wir uns erst einmal mit der Oberflaeche von Matlab vertraut machen:

Das wichtigste Fenster ist das grosse "Command window". Dort wird durch den Cursor >> angezeigt, dass Matlab bereit ist, Befehle entgegenzunehmen, die hier eingetippt werden koennen. Wenn Matlab gerade mit der Abarbeitung eines Programms beschaeftigt ist, wird kein Cursor dargestellt und in der Leiste ganz unten steht "busy".

Unten links ist ein kleinere Fenster mit dem Namen "Command history". In diesem Fenster kann man seine letzten Eingaben in das Command window nachvollziehen. Wenn man eine Eingabe wiederholen moechte, drueckt man die Pfeil-nach-oben-Taste. Dadurch laesst sich viel unnoetige Tipparbeit sparen.

Darueber gibt es ein etwas groesseres Fenster, dass sich durch die beiden Knoepfe "Workspace" und "Current Directory" zwichen zwei Funktionalitaeten umschalten laesst. Der "Workspace" ist die Gesamtheit aller zur Zeit definierten Variablen. Diese werden als Liste in dem Fenster angezeigt. Eine Variable ist ein  Name, der einen bestimmten Inhalt bezeichnet. Z.B. laesst sich nach der Definition a=1 mit a weiterarbeiten. Sein Inhalt laesst sich fuer Berechnungen benutzen (z.B. b=3*a) oder aendern (z.B. a=a+1).

Schaltet man das Fenster um auf "Current Directory", zeigt es alle Dateien des aktuellen Verzeichnisses an. Dieses kann man mit dem kleinen pull-down-Menue ganz oben aendern. (Das Thema Speichern und Laden behandeln wir morgen.)

Ausserdem findet man oben noch zwei Leisten. Saemtliche Funktionalitaeten zu erklaeren wuerde ueber diesen Kurs hinausgehen, aber beide Leisten sind stueckweise selbsterklaerend. Eine sehr wichtige Funktion ist durch das Fragezeichen symbolisiert: Das Hilfefenster.

Aufgaben:

T1_A1) Starten Sie Matlab und machen Sie sich mit den verschiedenen Fenstern vertraut. Starten Sie die Hilfe. Welche Moeglichkeiten bietet sie?

T1_A2) Benutzen Sie das Matlab Command Window als Taschenrechner. Probieren Sie die Grundrechenarten aus z.B. 7.32*674.986  oder 100086+654.965-83.7 (jeweils mit Return abgeschlossen)
Wie unterscheidet sich die Antwort auf die Eingabe von 5*10+2 von 5*(10+2) und (5*10)+2?
Achtung: in der amerikanischen Schreibweise wird ein Punkt verwendet, um die Stellen "hinter dem Komma" abzutrennen!

T1_A3) Wenn Sie einige Rechnungen durchgefuehrt haben, tippen Sie ans ein - wie reagiert Matlab? Warum? Wie reagiert Matlab auf ans*2? Was passiert, wenn Sie mehrfach hintereinander ans*2 wiederholen? (Dazu koennen Sie die Pfeil-nach-oben-Taste verwenden.)

T1_A4) Fuehren Sie mit a=4 eine Variable a ein. Beobachten Sie die Reaktionen in den verschiedenen Fenstern. Jetzt tippen Sie b=10; ein. Wie unterscheiden sich die Ausgaben?  Wie reagiert Matlab auf die Eingabe a+b? Wie unterscheiden sich davon die Reaktionen auf c=a+b; ?

T1_A5) Variablen koennen vom Benutzer beliebig eingefuehrt und mit Werten belegt werden. Es gibt aber auch Konstanten, die in Matlab vordefiniert sind, beispielsweise pi. Lassen Sie sich den Wert ausgeben. 

T1_A6) Ausser den Grundrechenarten kennt Matlab natuerlich auch komplexere mathematische Operationen. Testen Sie 2^3 und b^4. Was bedeutet dieser Haken?

T1_A7) Ein weiteres Beispiel ist die Quadratwurzel - da es fuer diese aber kein Symbol auf der Tastatur gibt, ruft man sie in Form der Funktion sqrt auf. Dabei muss das Argument, die Zahl auf die die Funktion angewandt werden soll, in Klammern hinter den Funktionsnamen geschrieben werden: sqrt(16) oder d=sqrt(a). Weitere Funktionen sind z.B. sin, cos, exp, log, abs. Was koennten diese Namen bedeuten? Probieren Sie Ihre Vermutung mit Beispielen aus.

T1_A8) Um nachzusehen, ob Sie richtig getippt haben, schauen Sie die Funktionsnamen in der Hilfe nach. Eine ganz kurze Beschreibung bekommen Sie, wenn Sie z.B. help sin eintippen. Sehr viel mehr Information gibt es im Hilfefenster: suchen Sie nach sin und den anderen Funktionsnamen.

T1_A9) Manche mathematischen Operationen brauchen mehrere Argumente. Z.B. bei b/a kommt uns das ganz natuerlich vor. Wenn es nicht wie bei den Grundrechenarten eine abkuerzende Schreibweise gibt, werden Matlab-Funktionen alle Argumente durch Komma getrennt in der Klammer uebergeben, die dem Funktionsnamen folgt. Z.B. wird der bei der ganzzahligen Division uebrigbleibende Rest von der Funktion rem (remainder) berechnet, die zwei Argumente uebergeben bekommt, z.B. rem(104, 10). Dabei ist die Reihenfolge der Argumente wichtig: was passiert, wenn man rem(10, 104) eingibt?

T1_A10) Vielleicht haben Sie sich waehrend der Uebung bereits irgendwann vertippt. Was ist dann passiert? Falls Ihnen noch nichts dergleichen passiert ist, tippen Sie einmal ein e1=sin(2*pi), dann e2=sine(2*pi) und schliesslich e3=sin(2pi). Wie reagiert Matlab darauf jeweils? Wie unterscheidet sich die Reaktion, wenn Sie f=10/0 eintippen?

B) Vektoren und Matrizen:

Vektoren und Matrizen sind das wichtigste Konzept der Programmierung in Matlab. Nahezu alle Daten werden in Matrizen organisiert und verarbeitet. Wenn Sie nicht sowieso mit Matrizenrechnung vertraut sind, lesen Sie bitte vor dem Kurs die kurze Einfuehrung aus dem Buch "Matlab und Mathematik kompetent Einsetzen" von S. Adam.

Matrizen sind Verbundvariablen, die zusammengehoerige Daten in einem Objekt vereinigen, indem sie sie in einem Rechteckschema aus Zeilen und Spalten anordnen. Vektoren sind spezielle Matrizen, die entweder nur aus einer Zeile oder nur aus einer Spalte bestehen.

Der Doppelpunkt dient in Matlab dazu, Zahlenreihen zu erzeugen. Das ist insbesondere beim Zaehlen und beim Indizieren von grosser Bedeutung.

Aufgaben: 

T1_B1) Rechnen Sie zunächst von Hand: a=[1; 2] (Spaltenvektor), b=[1 2] (Zeilenvektor). Was ist c=a*b ? Multiplizieren Sie das Ergebnis c mit der Matrix d=[0 1; 0.1 10]. Ueberpruefen Sie Ihre Ergebnisse anschliessend mit Matlab.

T1_B2) Definieren Sie sich folgende Vektoren: a=[1 2 3], b=[0.1 0.2 0.3], c=[10; 20; 30] d=[100; 200], e=[-1; -2] und f=7.5. Welche Vektoren sind Spalten- und welche Zeilenvektoren?
Ueberlegen Sie und probieren Sie aus: Welche der Vektoren kann man addieren? Subtrahieren? Multiplizieren? Punktweise multiplizieren?
In welchen Faellen ist die Reihenfolge der Vektoren wichtig, in welchen nicht?

T1_B3) Wenn Sie sich in den Kopf setzen, dass Sie gerne einen Vektor g definieren wollen, dessen Werte die Summe aus den Elementen von a und c sind, muessen Sie etwas tricksen: Einer der Vektoren muss transponiert werden. Probieren Sie aus: g1=a+c'  und g2=a'+c. Was ist der Unterschied?

T1_B4) Fuer den Umgang mit Vektoren werden von Matlab ein paar sehr praktische Funktionen bereitgehalten. Probieren Sie an ein paar Beispielen die Arbeitsweise folgender Befehle aus und sehen Sie im Zweifelsfall in der Hilfe nach:
sum(vektor), mean(vektor)
*) Probieren Sie aus, welche der in A7) eingefuehrten Funktionen auch fuer Vektoren funktionieren.

T1_B5) Definieren Sie sich zwei Matrizen: M1=[1 1 1; 5 6 7] und M2=[0 -1; -2 0.5; 0.1 1] und schauen Sie im Array Editor an. Welche Indizes hat der Eintrag 6 in M1? Greifen Sie einen Eintrag aus M2 heraus, z.B. M(1,2)

T1_B6) Achtung! Matlab kennt zwei Arten, eine Matrixkomponente zu indizieren: entweder, man benutzt die Schreibweise M1(1,2) mit (zeile, spalte) in der Klammer, oder man zaehlt die Matrix als einen langen Vektor durch, wobei die Spalten zu einem langen Spaltenvektor aneinandergehaengt werden, z.B. M1(2). Welcher Einzelindex entspricht M1(1,2)

T1_B7) Berechnen Sie M1*M2 und M2*M1. Transponieren Sie M2 und berechnen Sie die Summe mit M1.

* T1_B8) Welche der Vektoren aus Aufgabe B2 kann man mit M1 oder M2 multiplizieren? Kann man sie auch addieren?

T1_B9) Zum Glueck braucht man in Matlab grosse Matrizen nicht komplett einzutippen. Probieren Sie aus, was passiert, wenn man o=ones(1,8) und z=zeros(3,3) eingibt.

T1_B10) Eckige Klammern umschliessen jeweils alle Komponenten einer Matrix oder eines Vektors. Man kann sie deshalb auch nutzen, um Vektoren oder Matrizen zu kombinieren. Ueberlegen Sie, was folgende Ausdruecke basierend auf den oben definierten Vektoren und Matrizen liefern sollten und probieren sie Ihre Hypothesen aus:
t1=[a b],  t2=[a;b], t3=[a b f], t4=[d e], t5=[d;e],  t6=[a c],
t7=[M1; a], t8=[M1; M2'], t9=[M1' M2]; t10=[[pi pi/2];[1 2];e']

T1_B11)  Der Doppelpunktoperator spielt in Matlab eine wichtige Rolle. In seiner einfachsten Form benutzt man ihn zum zaehlen: zahlen=1:10 erzeugt einen Vektor mit den Zahlen von 1 bis 10.

T1_B12) "Zaehlen" kann man nicht nur in Schritten der Laenge 1. Die Schrittweite wird zwischen Anfangs und Endwert in Doppelpunkte eingeschlossen angegeben. Probieren Sie aus: zahlen2= 10:10:100, zahlen3=0:0.1:0.5. Erzeugen Sie einen Vektor, der vom Startwert 5 mit Schrittlaenge von 2.5 bis zum Endwert 20 laeuft.

T1_B13) Besonders wichtig ist der Doppelpunktoperator, beim Indizieren, also um auf definierte Elemente von Vektoren oder Matrizen zuzugreifen. Welche Werte ergibt zahlen(2:4)? Was koennte man alternativ schreiben, um an diese Werte heranzukommen? Greifen sie das 4. bis 7. Element aus dem Vektor zahlen2 heraus.

T1_B14) Wenn der Doppelpunktoperator beim Indizieren alleine steht, z.B. zahlen(:) bedeutet es, dass der ganze Vektor genommen werden soll. Fuer Vektoren ist das recht langweilig, denn in diesem Fall koennte man auch einfach zahlen schreiben.
Anders ist das bei Matrizen. Definieren sie sich M3=[1 1 1 1; 5 6 7 8; 10 20 30 40]. Probieren Sie aus: M3(1,:), M3(:,3). Was bedeutet M3(:) im Gegensatz zu M3 und zu M3(:,:)?

T1_B15) Und jetzt kombinieren wir das Gelernte: Greifen Sie aus M3 den dritten und vierten Eintrag der zweiten Zeile heraus.

T1_B16) Eine sehr praktische Vereinfachung beim Indizieren ist der Begriff end. Beispielsweise der Ausdruck a(7:end) bezeichnet alle vom siebten bis zum letzten Eintrag des Vektors a. Dadurch braucht man die Laenge des Vektors nicht zu kennen. Greifen sie die letzten drei Elemente aus dem Vektor zahlen heraus, indem Sie end benutzen.

C) Grafische Darstellung von Vektoren:

Die grafische Darstellung von Daten ist fuer viele Anwendungen hoechst wichtig, gerade im wissenschaftlichen Bereich. Daten, die man einmal "gesehen" hat, kann man sich besser vorstellen, als wenn sie in Form von Vektoren vorliegen. Deshalb werden z.B. in Praktikumsprotokollen, Abschlussarbeiten etc. grundsaetzlich grafische Darstellungen der Auswertungsergebnisse gefordert. Mit Matlab hat man die Moeglichkeit, sich in Vektoren oder Matrizen angeordnete Daten sehr einfach grafisch darstellen zu lassen. Der Grundbefehl dafuer lautet plot

T1_C1) Jetzt stellen wir einen Vektor grafisch dar: Definieren Sie sich den Vektor v=[1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5]. Lassen Sie sich diese Daten mit plot(v) grafisch darstellen. Was ist auf der x- und der y-Achse dargestellt?

T1_C2) Erzeugen Sie sich mit Hilfe des Doppelpunktoperators einen Vektor mit einer Zahlenreihe, z.B. v=0.01:0.01:10; und stellen diesen mit plot(v) grafisch dar. Probieren Sie verschiedene Zahlenreihen aus. Was passiert mit den Achsen?

*T1_C3) Erzeugen Sie sich eine Matrix M, die aus mehreren verschiedenen Zahlenreihen besteht und stellen diese mit plot(M) dar. Was ist zu sehen? Wie kann man eine einzelne Zeile der Matrix grafisch darstellen? Wie eine Spalte? 

T1_C4) Bisher wurden die Werte jeweils gegen den index der Vektoren bzw Matrix aufgetragen. Das ist nicht immer sinnvoll. Generieren Sie sich zwei Vektoren x=-1:0.1:1; und y=x.^2; mit plot(x,y) werden die Werte gegeneinander aufgetragen.
Was passiert bei plot(y,x)?
Erzeugen Sie Glockenkurven fuer verschiedene Vektoren x.

T1_C5) Um sich nur einen Ausschnitt der vorhandenen Daten anzusehen, oder um Daten in Abbildungen zu skalieren gibt es den Befehl axis([xmin xmax ymin ymax]). Probieren Sie verschiedene Achsenskalierungen fuer Ihre Glockenkurven aus.
Erzeugen Sie sich ausserdem eine Glockenkurve mit einem groesseren Definitionsbereich, z.B. von -10 bis 10, plotten Sie diese und sehen sie sich mit verschiedenen Skalierungen an. Wie bekommt man einen plot der genauso aussieht wie der urspruengliche in T1_C4? 

T1_C6) Es gibt eine Reihe von Optionen, um Daten moeglichst schoen oder praktisch aufzutragen. Probieren Sie plot(y,x,'r') aus. Was bewirken die folgenden Optionen: r, b, g, k, c, m, *, ^, s, d, :, -, --
Notieren Sie sich die jeweilige Bedeutung und probieren Sie sinnvolle Kombinationen aus, z.B. plot(y,x,'r^:')

D) Hausaufgaben:

T1_H1) Der Mathematiker Karl Friedrich Gauss sollte als Grundschueler damit beschaeftigt werden, alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuzaehlen. Er war innerhalb weniger Minuten damit fertig, da er das Prinzip erkannte, dass jede Summe einer Zahl aus der oberen Haelfe der Reihe mit einer passenden Zahl aus der unteren Haelfte den Wert 101 ergab (z.B. 1+100=101, 2+99=101 etc). Da es 50 solcher Paare gibt, ist die Loesung 5050=101*50. 

Die allgemeine Formel fuer die Summe einer Reihe natuerlicher Zahlen von a bis b lautet
s=1/2*(a+b)*(b-a+1).

Testen Sie diese Formel, indem sie verschiedene Reihen mit dem Befehl r=a:b erzeugen und deren Summe mit sum(r), sowie mit der obigen Formel berechnen. 

T1_H2) Erzeugen Sie eine Matrix mit einer Einmaleins-Tabelle fuer das kleine Einmaleins, also

 1  2  3  ...            10
 2  4  6  ...            
 3  6  9  ...            
 4  8  12  ...            
 ...  ...  ...              
                   
                   
                   
 10  20  30              100

(natuerlich vollstaendig ausgefuellt).


T1_H3) Verwenden Sie das Prinzip, Matrizen als Bestandteile von Matrizen zu definieren, um  ein 8*8 Schachbrett aus 0 und 1 zu erzeugen.
Sehen Sie sich Ihr Resultat im Array Editor an.
Man kann sich den Inhalt einer Matrix auch grafisch anzeigen lassen. Wenn Ihre Matrix-Variable "schach" heisst, tippen Sie einfach ein imagesc(schach).

T1_H4) Durch welche Abfolge von Matlab-Befehlen erzeugt man den Inhalt der folgenden Tabelle der Hoehendifferenzen:

 km  Duforspitze  Matterhorn  Gornergrat  Zermatt  Brig
 Duforspitze  0  -156  -814  -3014  -3956
 Matterhorn  156  0  -658  -2858  -3800
 Gornergrat  814  658  0  -2200  -3142
 Zermatt  3014  2858  2200  0  -942
 Brig  3956  3800  3142  942  0

aus dem Vektor der Hoehenwerte v=[4634; 4478; 3820; 1620; 678] ?

 * T1_H5) Aufgabe aus dem Pisa-Test:

Ein Auto-Magazin verwendet ein Bewertungssystem, um neue Autos zu beurteilen, und vergibt den Preis für das "Auto des Jahres" an das Auto mit der höchsten Gesamtpunktzahl.
Auto

Sicherheitsmerkmale

(S)

Sparsamkeit beim Benzinverbrauch

(B)

Äußere Erscheinung

(Ä)

Innenausstattung

(I)

Ca 3 Punkte 1 Punkte 2 Punkte 3 Punkte
M2 2 2 2 2
Sp 3 1 3 2
N1 1 3 3 3
KK 3 2 3 2
Um die Gesamtpunktzahl für ein Auto zu berechnen, wird folgende Formel verwendet, die eine gewichtete Summe der einzelnen Bewertungspunkte ist:
Gesamtpunktzahl=(3*S)+B+Ä+I
Pisa: Berechne die Gesamtpunktzahl für das Auto "Ca"!
Matlab V: Berechne die Gesamtpunktzahl für die Autos vektoriell!
Matlab M: Berechne die Gesamtpunktzahl für die Autos durch Matrizenrechnung!

*T1_H6) Wer Grafik noch schoener haben moechte als es mit den in T1_C6 erwaehnten Grafikoptionen moeglich ist, kann dafuer sogenannte "line properties" nutzen. Diese werden der Plotfunktion jeweils als Schluesselbegriff und Wert uebergeben, z.B. plot(x,y,'LineWidth',5). Weitere line properties sind 'Color', 'MarkerFaceColor', 'MarkerEdgeColor', und 'MarkerSize'. Was bedeuten diese? Stellen Sie Ihre Glockenkurve mit einer dicken roten Linie und blauen Dreiecken als Datenpunkten dar.

*T1_H7) Spielen Sie ein wenig mit den interaktiven Moeglichkeiten,  Ihre Grafik zu veraendern: zoomen sie auf einen gewissen Bereich, aendern Sie die Liniendicke, geben Sie der Grafik einen Titel etc. Was fuer Moeglichkeiten gibt es, die Grafik interaktiv zu verschoenern?

Zum 2. Kurstag


Webmasyu6ihtew0r: Ju/ctta Kxsvregqtzbeuurgnt (jutta.kllkretrvzberg@uol.dv9eu4) (Stand: 07.11.2019)