... Korrekturen¹

Namen der Studenten, die Korrekturen geliefert haben: Stefan Freudenberg, Svend-Age Biehs

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... gehalten²

mit wechselnder Resonanz: einmal stieg die Zahl der Hörer stetig über beide Semester hinweg bis zum Ende, einmal stieg das Durchschnittsalter auf über 70 Jahre, - dem Alter meines letzten aber hoch aufnahmefähigen und interessierten Hörers..

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... Vorlesung³

ein erster Versuch einer solchen propädeutischen Veranstaltung wurde durch G. Süßmann (mit seinem Assistenten E.R.H.) an der Universität Frankfurt durchgeführt (1995).

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... angefragt⁴

siehe Abschnitt 'Transcripts'.

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... Orten⁵

unvergessen ist mir die heftige Diskussion mit Mitstudenten anderer Fächer auf einem Segeltörn auf der Elbe zu der Frage, ob und wann eine Flasche auf einer Waage schwerer oder leichter gemessen wird, wenn in ihr eine Fliege sitzt, fliegt, sich setzt, -jeweils zu diskutieren für die Fälle, wenn der Korken auf der Flasche sitzt oder daneben gelegt wird...

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... gelehrt⁶

In der Bezeichung trennen wir das Bild (hier: H) von der Abbildung (hier: d_tt als zweifacher Ableitung nach der Zeit), und dem Abbild (hier: g), anstelle der redundanten und trotzdem unklaren und mißverständlichen Bezeichnung dH(t)/dt .

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... Verwendung⁷

Es gilt ja zu unterscheiden zwischen der Gleichheit zweier bekannter Objekte (ein Kilo Birnen wiegen genausoviel wie zwei Pfund Birnen), einer experimentell zu prüfenden These (das vorliegende Kilo Äpfel wiegt genauso viel wie die vorgelegten drei Birnen), ein Kilo seien zwei Pfund (hier wird das als unbekannt angenommene Kilo durch das als bekannt angenommene Pfund eingeführt, diese 'Gleichheit' hat also eine Richtung, oft wird daher (z.B. in Programmiersprachen) geschrieben 1Kilo:= 2Pfund. Schließlich gibt es Entsprechungen, Analogien, Ähnlichkeiten, usf., die oft ebenfalls einfach mit einem Gleichheitssymbol abgekürzt werden..

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... Pfade⁸

Der Leser möge dies ruhig für sehr wenige Bahnen auf einem groben Zeit/Raumgitter und zum Beispiel eines freien Teilchens in Ruhe oder konstanter Geschwindigkeit probieren. Es ist immer überraschend, wie gut es funktioniert.

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... erspart.⁹

Die korrekte Mechanik ist ein Standardgebiet der Theoretischen Physik, die Lehrbücher findet man unter Titeln wie 'Quantenmechanik'..

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...9¹⁰

Der Leser möge dies selbst versuchen: Man nehme eine kräftefreie Bewegung (V=0). Dann teile man das Zeitintervall 0 < t < t₁ in drei gleiche Teile, ebenso die Ortsvariable 0 < h < Hin drei Teile und nehme nur Bahnen, die stets zwischen irgendzwei Gitterpunkten geradlinig vom Startpunkt zu einem Gitterpunkt der 'Zeitebene' t=t₁/3, zu irgendeinem der drei Gitterpunkt der Ebene t₁=2t/3schließlich zum festen, weil ja beobachteten Zielpunkt fliegen. Sodann berechne man die Vorschrift für die 3³=27 möglichen Bahnen und addiere die Ergebnisse. - Fantastisch, wie gut sich die Newtonsche Mechanik ergibt..

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...änden. ¹¹

Beispiel: ob ich mein Fahrrad ins Institut gebracht habe, oder ob das Fahrrad mich ins Institut gebracht hat, ist physikalisch unerheblich). Bitte testen Sie doch die Reaktion Ihrer (nichtphysikalisch vogebildeten) Mitbürger mit solchen transitiven Aussagen, und fragen Sie dann nach einer Möglichkeit, experimentell zwischen beiden Alternativen zu unterscheiden.

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... nicht..¹²

Ein Kind schwingt ein Seil, das von außerhalb des Gartens durch den Staketenzaun (senkrechte Balken eines Jägerzaunes) zur Hauswand führt. Wenn das Seil speziell in Richtung der Staketen schwingt, hat es keinen Widerstand, es ändert den Zustand des Zaunes nicht, und der Zaun bewirkt keine Änderung (Störung) des Schwingungszustandes des Seils. Wäre es Nacht, könnte dann das Kind nicht feststellen, ob überhaupt ein Zaun da ist...

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... Die¹³

Wem die epische Breite zuwider ist, der warte auf den mathematischen Anhang, aber der Absprung zu aktuellen Forschungsgebieten der Physik mit grundlegenden neuen Erkenntnissen über die RaumZeit erfolgt aber gerade aus diesem Kapitel heraus, und der eilige Leser übersieht das vielleicht; Nehmen wir als Beispiel die Idealisierung des Fadens. Vorausgesetzt ist doch hier die mechanische Realisierung mittels Materie. Dies bereitet jedoch im subatomaren Reich Schwierigkeiten: Die Teilchen kleinster Raumausdehnung sind die Elektronen, die also hervorragend geeignet sein sollten als Material, den feinsten realisierbaren Faden zu spinnen. 'Leider' ist es bisher jedoch nicht gelungen, den Elektronen überhaupt eine Raumausdehnung zuzusprechen, genauer: sie haben diese Eigenschaft überhaupt nicht. Damit sind aber zugleich die Eigenschaft der Homogenität und Isotropie des Raumes bei diesen sehr kleinen Nachbarschaften prinzipiell nicht realisierbar (genügend weit unterhalb 10^-15cm). Ergebnisse der aktuellen Forschung in der Theoretischen Physik haben bereits eine Fülle von Forderungen an den Bereich der Feinststruktur des Raumes gestellt und den Zusammenbruch der Homogenität des Raumes für Abstände im Bereich der Planck-Länge (10^-48cm) vorausgesagt. Aber der Leser des ersten Semester muß sich eben gedulden, noch ist ja nicht einmal eingeführt, was ein Abstand in der Physik überhaupt ist..

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... Paralleltransport¹⁴

das hat natürlich garnichts zu tun mit einer Parallelen in der Euklidischen Geometrie, sondern bedeutet 'längs von'.

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... Stell¹⁵

Das norddeutsche Wort steht für eine definiierte Untermenge von Objekten, z.B. mein Stell Seekarten für eine Reise nach England.

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... ¹⁶

in contrast Mathematics is much 'simpler': there just any set of objects with any set of rules is equally worthwhile to think about iff a given set of rules is free of logical conflicts and if it appears intellectually of interest to the only real object in this world of thoughts, the mathematician..

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... sind:¹⁷

Dieser Text richtet sich an Anfangssemester der Physik, um sie einzugewöhnen, Korrekturen und Bemerkungen werden gerne aufgenommen, auf alle Feinheiten wurde jedoch bewußt verzichtet, erst recht auf mathematische Beweise. Der hier vorgespannte Leser sei auf das exzellente Buch von Thirring verwiesen.

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... Columbus¹⁸

Cristopher Columbus entdeckte durch die intuitive Erfassung der Aussage dieses Satzes Amerika: alle Punkte unserer Erde seien eine dreidimensionale (es gibt mindestens drei unabhängige Kurven durch jeden Punkt des Inneren, deren Nachbarschaft beidseitig zu ihr gehört.) orientierte Punktmenge. Die Menge der Randpunkte (für die es zu jedem Punkt nur mindestens zwei unabhängige Kurven durch jeden Randpunkt gibt), deren Punkte dazu gehören. Der Satz von Columbus bedeutet dann, daß die Erdoberfläche keinen Rand haben KANN. Alle Randpunkte der dreidimensionalen Erde sind bezüglich ihrer Nachbarschaftseigenschaften gleichartig. Er machte sich, im Gegensatz zu damaligen Gelehrten KEINE Sorgen, plötzlich bei der Suche nach Amerika über den Rand der Erdoberfläche abzustürzen, -es kann und darf ihn nicht geben.

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... Gebiete¹⁹

Auf die mit den höheren Semestern zu pflegende Diskussion der Eigenschaften des Limes $N\rightarrow \infty; \quad \Delta x := (b-a)/N$ wird hier ebensowenig behandelt wie die Verallgemeinerung auf gekrümmte Räume. Während dieser Limes 'abzählbar unendlich wird, ist gerade einer der großen Fortschritte der hier eingeführten Differentialformen, daß sie überabzählbar ('reell') unendlich sind: für jeden Punkt der Strecke [a,b] ist der Integrand zu berechnen und alle diese Ergebnisse aufzusummieren. Der eigentliche Unterschied und Fortschritt ist, daß bei Leibniz die Differentiale dx_i zahlenwertig sind und kommutieren, während sie als elementare Differentialform $\mathrm d \- x_i$ antikommutieren, dx_idx_j=dx_jdx_i und so die Orientierung der Integrationsgebiete wiederspiegeln. Numerisch werden die Integrale natürlich sowieso nur in einer Gitternäherung (N endlich) berechnet und dann haben die Summanden dieser Verknüpfung natürlich numerisch handhabbare endliche Werte.

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... Null²⁰

Als Beispiel betrachten wir einen Würfel im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum. Vielleicht sieht man ihm nicht an, daß die Menge der Raumpunkte, die er ausfüllt, eine orientierte Punktmannigfaltigkeit sind. Zu ihm gehören zwei Sorten von Punkten: die Punkte im Innern haben auf allen Kurven im R3, die man durch sie legen kann, stets alle Nachbarpunkte, sowohl vor wie hinter in=hm, im Innern des Würfels. Durch die Randpunkte lassen sich Kurven im R3 legen, bei denen der eine Nachbarpunkt innen, der andere außerhalb des Würfels liegen. Diese Konstruktion zeigt die Orientierung der Punktmenge, es gibt ein Innen und ein Aussen. Die Menge aller Randpunkte (die 'Haut' des Würfels) nennen wir den Rand von ihm. Diese Punktmenge hat zwei Diemnsionen und ist ebenfalls orientiert. Mit der gleichen Konstruktion, Kurven in die durch einen Punkt dieser Randmenge gehen, und in der zweidmensionalen Menge liegen, sieht man: es gehören immer beide Nachbarpunkte einer Kurve zur Menge, alle Punkte der Randmenge des Würfels sind innere Punkte von ihr. Sie hat also selbst als Rand nur die leere Menge.

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... kann.²¹

Wieviel unabhängige Linien durch einen Punkt der Grundmenge gibt es, auf denen man als Nachbarpunkte wieder Punkte aus ihr findet.

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... genannt.²²

Man sieht, daß die Theorie der Integranden auch wesentlich studienverkürzend ist..

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....²³

In der frühen Entwicklung der Vektorrechnung führte man das sogenannte Kreuzprodukt zweier Vektoren ein und bezeichnete dies als 'axialen Vektor', der senkrecht zu den beiden Vektoren zeige. Zwei Infinitesimale dx₁dx₂ im ${\cal R}_2$ spannen eine kleine Fläche auf, deren Kreuzproduktvektor dann senkrecht dazu nach außen zeige, die 'Flächennormale'. Ein echtes Kreuz, denn im ${\cal R}_2$ gibt es keine dritte Richtung und sie wird weder mathematisch noch physikalisch, um etwas auszurechnen, an irgendeiner Stelle gebraucht. d v hat nur Komponenten in Bezug auf die Fläche und ihre inneren geometrischen Eigenschaften. $\vec{\nabla} \times \vec{v} := {\mathrm rot}\vec{v}= \star \mathrm d v.$Nur der letzte Ausdruck ist für beliebig dimensionale Räume definiert und die Komponenten haben ein eindeutiges Koordinatentransformationsverhalten, das eines Tensors.


Der Leser möge sich ein Vergnügen daraus machen, die komplizierten (englisch: clumsy) Notationen der Frühzeit umzurechnen: Was ist $(\vec{a} \times \vec{b}) \vec{a}$? In der Integrandenschreibweise kein Problem: mit der Merkregel (ersetze ein Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ durch $\star ab$ und das innere Produkt $\vec{a}\vec{b}= a_1b_1 + a_2b_2 + ..$ durch $\star a \star b$durch das äussere Produkt, so erhalten wir $\star ((\star ab)\star a)$. Einsetzen der Definitionen von der 1-Formen wie $a:= \sum_{i=1}^n {\mathrm d}x_{i}a_i$ und Nutzen der Antisymmetrie der Differentiale dx_idx_j=-dx_jßdxi ergibt als schöne Übung die Null.

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... analog.²⁴

Der Begriff in der Mathematik hat seine eigene von der Umgangssprache andere Bedeutung gegenüber der Physik, weil nur mit Gedankenkonstrukten gearbeitet wird. Dazu zwei stories:
''10 Eier sind zu kochen. Ein Hausmann nimmt einen Topf und kocht die 10 Eier darin. Ein Mathematiker kocht im gleichen Topf ein Ei und erklärt: 'die anderen Eier behandle ich analog'.
oder: 'Eine Gruppe von Ingenieuren und eine Gruppe von Mathematikern fahren mit dem Zug zu einer Tagung. Jeder Ingenieur besitzt eine Fahrkarte, dagegen hat die ganze Gruppe der Mathematiker nur eine einzige Karte. Plötzlich ruft einer der Mathematiker: 'Der Schaffner kommt!', worauf sich alle Mathematiker in eine der Toiletten zwaengen. Der Schaffner kontrolliert die Ingenieure, sieht, dass das WC besetzt ist und klopft an die Tuer: 'Die Fahrkarte bitte!' Einer der Mathematiker schiebt die : Fahrkarte unter der Tuer durch und der Schaffner zieht zufrieden ab. Auf der Rueckfahrt beschliessen die Ingenieure, denselben Trick anzuwenden und kaufen nur eine Karte fuer die ganze Gruppe. Sie sind sehr verwundert, als sie merken, dass die Mathematiker diesmal ueberhaupt keine Fahrkarte haben. Wieder ruft einer der Mathematiker: 'Der Schaffner kommt!'. Sofort stuerzen die Ingenieure in das eine WC, die Mathematiker machen sich etwas gemaechlicher auf den Weg zum anderen. Bevor der letzte Mathematiker die Toilette betritt, klopft er bei den Ingenieuren an: 'Die Fahrkarte bitte!' Und die Moral von der Geschichte? Ingenieure wenden die Methoden der Mathematiker an, ohne sie wirklich zu verstehen.''

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... Paare²⁵

Das ist dieselbe Zahl, wie die Anzahl der Handschläge bei einer gegenseitigen Begrüßung von jedem mit jedem auf einer Party.

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... desk²⁶

Available from the Department of Physics, Carl von Ossietzky University, D-26111 Oldennburg.

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... well.²⁷

Then you might prefer to use the .html version or draw the .tex file and delete the many newpage commands.

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...²⁸

Of course we use the usual [cgs] system for dimensions: a force has [g cm/s²], the electric field is defined by K=qE and E=q/r², thus we have the charge q[g^1/2 cm^3/2 s^-1] and the fieldstrength E[g^1/2cm^-1/2 s^-1] .

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... Gauß-law²⁹

By acting on both sides the $\star$ operator, you gain $4 \pi \rho = \mathrm{div} \vec{E}$.

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... dimensions³⁰

: a force has [g cm/s²], the electric field is defined by K=qE and E=q/r², thus we have the charge q[g^1/2 cm^3/2s^-1] and the fieldstrength E[g^1/2 cm^-1/2 s^-1], no hassle with an $\epsilon_0$ and new dimensions.

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