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Virtual Class

For interacting with other students, tutor and the author please send an email to E.Hilf to enter the Learning Platform of the Project Physik Multimedial.

Registration for the next class ( 16.10.2003 -15.2.2004) is now open.

Part of the material is in english, other parts are in german.

Past discussions: October 2000: [University Oldenburg, Germany: Workbench Theoretical Physics Online] has started the coherent synopsis of teaching material on the web such as that given in PhysNet on theoretical physics introductory material.

For remarks, exercises, hints, corrections: mail to E.R.Hilf

Einführung in die theoretische Physik

Eberhard R. Hilf

1. März. 2000

NEW: 7.1.2000: see pages 70 and up: simple applications for differential forms in comparison to experimental script for beginners.


17.1.2000: This conglomerat comprises fragments of two lines:
- a german language introduction to Physics for 1./2. term students,
- an english language introduction to mathematical physics for 1./2. term students.


Inhalt

Leser, die sich anmelden (email an den Autor ) werden informiert, wenn ein Kapitel hinzugekommen ist, sowie Antworten auf Lösungsvorschläge zu Übungsaufgaben erhalten.


Korrekturen und Hinweise sind bei einem Text in diesem frühen und fragmentarischen Zustand besonders willkommen. Hinweise auf Texte Dritter werden als link gerne aufgenommen.


Essays zum Thema


Einführung in die Theoretische Physik


E.R.Hilf; Fachbereich Physik, Carl von Ossietzky Universität Oldenburg.


begonnen: 15.10.1994; Reorganisation, Ergänzungen und Korrekturen1


5.1.2000


Materialien zur Ausbildung in den ersten beiden Semestern
Materialien von Veranstaltungen an anderen Orten finden Sie über das Internet:
Übungen:
Univ.Frankfurt, Prof. Roskilde.
Gegenwärtig (15.10.1999) Wird mit dem BIS verhandelt, die Lizenz für das Produkt des Harri Deutsch Verlages CliXX Physik, cliXX Mathematik, Dektop Mathematik, Desktop Physik zu erwerben. Zum Schnuppern können Sie die Aufgaben im Theoretikum und Projekte an der U. Frankfurt (Prof. Stöcker) bearbeiten.

Vorreden

Ziel des Dokumentes ist: Die entsprechende Vorlesung wurde mehrfach am Fachbereich Physik der Carl von Ossietzky Universität Oldenburg gehalten2 Die Veranstaltung sollte aus einer Vorlesung, einer Übung, einem Proseminar bestehen. Dies war 1997 auch noch der Fall.


Die Vorlesung3 Übungen sollten integraler Bestandteil der Veranstaltung sein. Viele Theoretiker sehen Übungen, Seminare, Diskussionen als die zentralen Bestandteile des Studiums, - und hier sind nicht nur Diskussionen unter den Studenten oder mit dem Dozenten gemeint, sondern mit jedem interessierten Menschen, -und sei es am Familienküchentisch, in der Bahn, im Lokal oder an anderen Orten5.


Das Proseminar ist der schüchterne Versuch, die angestrebte Berufsqualifikation, -die Fähigkeit, sich selbst einen Stoff anzueignen und darzustellen, erstmals zu üben an selbstgewählten Beispielen.


Mögliche Themen wären: Die Ausarbeitungen der Vortragenden sollen hier dann eingebunden werden. Alle diese Themen sind bereits mit früheren Erstsemestern erprobt worden.

Der physikalische Meßprozeß

In der Theorie des Meßprozesses der Physik haben sich die Arbeitsschritte bewährt:

Fallversuche am schiefen Turm zu Pisa

Als Beispiel wenden wir uns den Fallversuchen am schiefen Turm von Pisa zu. Ein Stein werde vom obersten Geländer fallen gelassen und man messe, wieviel später er unten ankommt.


In der Schule haben wir gelernt, daß sich die Zeitdauer taus der Fallhöhe H durch die Auflösung der Gleichung

H=1/2 g t2 (1)

berechnet. Dabei wird für g der Wert der Erdbeschleunigung in der Gegend von Pisa eingesetzt.


In einer anderen Schule wird die 'Newtonsche Gleichung' gelehrt6,

 
m dtt H = m d 2 H/d 2t = -m g . (2)

Dabei sei H die Fallhöhe zur beliebigen Zeit t, die natürlich zwischen 0, dem Start des Experimentes und t1, dem Stop des Experimentes liegen muß. Sodann wird diese Gleichung zweimal integriert,

\begin{displaymath}\mathrm d _t H = - g t , \quad H = - 1/2 g t^2 \end{displaymath} (3)

und nun wird in diesen allgemeinen Fall der spezielle Wert der Fallhöhe des Pisaturms eingesetzt, und man erhält t=t1. Man beachte diese in der Physik häufige schlampige Verwendung7.


Wieder Andere ziehen vor, denselben physikalischen Prozeß durch die Rechenvorschrift

\begin{displaymath}h = \int_0^t {\mathrm d }t^{'} \int_0^{t^{'}} {\mathrm d }t^{''} {\mathrm d }^2 h/d^2t^{''} \end{displaymath} (4)

zu formulieren. Man berechne die beiden Integrale nacheinander, setze vorher für die zweite Ableitung von h nach t die Gravitationskonstante g ein, sowie für die ja noch beliebige Zeit t den speziellen Wert t1 der Aufprallzeit des Steines am Boden.


Wieder ein anderes, und dem Leser, der Leserin zunächst reichlich umständliches erscheinendes, Verfahren wurde von R.P. Feynman gegeben. Es beleuchtet besonders didaktisch die entscheidende Erkenntnis der Naturwissenschaft über das Meßbare an einer solchen Fallkurve, und das Nichtmeßbare.. . Es sei hier also kurz geschildert:


Gemessen hat Newton den berühmten Apfel am Baum vor dem Fall (optische Messung), und nach dem Fall (Impuls- und Energiemessung beim Aufschlagen). Dazwischen hat er angenommen, daß der Apfel einer Bahn $\mathcal{B}(t)$ folgt. Wir verzichten nun darauf, etwas anzunehmen, was nicht gemessen wurde, und teilen den zeitlichen Ablauf auf in drei Zeitabschnitte:
- die Meßzeit '=0, beim Start des Vorgangs,
- das Zeitintervall 0 < t' < t',
- und die Meßzeit t'= t des Aufpralls.


Wir verzichten nun darauf, eine bestimmte Bahn in dem Zwischenintervall zu vermuten, oder ungemessen anzunehmen, daß physikalische Erhaltungssätze zwischen den Messungen gelten würden.


Wir führen den Begriff der Wirkungsdichte L ein: (Dimension: Arbeit mal Zeit) und definieren

\begin{displaymath}L(h, \dot{h},t^{'}) \quad := \quad 1/2 \- m \dot{h}^2 + m\, g\, h \end{displaymath} (5)

(Kinetische minus potentielle Energie). Integriert über irgendeine gedachte Bahn zwischen den beiden Meßpunkten $(h(0),t^{'}=0); \, (h(t), t)$ ergibt dies die Wirkung der gedachten Bahn. Feynman's Vorschlag ist nun, daß jede mechanisch am Aufschlagsort meßbare Größe, z.B. die 'Bahnlänge', sich berechnen lassen durch Multiplikation des Wertes der Bahnlänge mit dem 'Straf-Faktor' $\mathrm{exp}(-S/\hbar)$für irgendeine gegebene Bahn und Aufsummieren dieser Produkte über alle denkbaren Bahnen, -inklusive solcher, die Loopings und Bahnschleifen enthalten, und die Summe dividiert durch die Zahl verwendeten Pfade8 . Dieser genialische Vorschlag funktioniert für alle mechanischen Messungen exakt und perfekt.


Zum Glück für Newton hat eine genaue Nachmessung des Apfelexperimentes mit sehr viel leichteren und kleineren Teilchen (z.B. Elektronen) ergeben, daß die hier eingeführte Maßeinheit hbar sehr klein ist, -etwas 10-27ergsec, sodaß für Äpfel die Annahme einer Bahn eine sehr tüchtige Näherung bleibt,- nur hätte Newton so gedacht, wie hier beschrieben, hätte er die aus heutiger Sicht korrekte Mechanik bereits entdeckt,- und der Physik einen langen Umweg erspart.910


Diese verschiedenen Formulierungen und Rechenvorschriften mögen zufällig erscheinen und redundant. Das Berechnen steht aber eben nicht im Vordergrund, das überlassen wir Rechenmaschinen, sondern die Idealisierung, Präzisierung und Verallgemeinerung der Strukturen und Vorgehensweisen, sodaß Vorhersagen für eine möglichst weite Klasse von Experimenten möglich wird. Von den o.g. Gleichungen ist das nur sehr eingeschränkt zu erwarten.

Der physikalische Messprozeß

In der Physik werden Erkenntnisse ('Wahrheiten') durch reale Experimente mit realen Apparaten an realen System mittels realer Personen als Experimentatoren gewonnen mit dem Ergebnis realer (rationaler) Zahlen.


Satz 1: Ein physikalischer Begriff wird eingeführt durch
die Angabe einer realisierbaren Bauvorschrift zusammen mit
der Angabe eines Iterationsverfahrens, mittels dessen jeweils bei Vorlage einer gegebenen Realisierung einer Apparatur die nächste in einer Reihe zunehmend besserer Realisierungen des Begriffes erstellt werden kann, sowie schließlich die Abstraktion der Baureihe aus endlich vielen immer feineren Realisierungen zum Limes nach unendlich vielen Schritten. Diesem Limes der Baureihe der Apparatur wird ein mathematisches Objekt $\hat A $ zugeordnet.


Eine Physikalische Apparatur ist definiert durch eine Baureihe von realen (realisierbaren) Apparaturen, die aus einer vorgelegten groben Urform durch eine Verfeinerungsvorschrift hervorgehen. Dem Limes dieser Folge wird das mathematische Objekt $\hat A $ zugeordnet.


Es ist experimentell wichtig, daß die Realisierungen der Apparatur nicht im Labor übertrieben werden, daß also rechtzeitig und nach endlich vielen Schritten der Satz der ersten Glieder dieser Baureihe beendet wird (wenn nicht vorher das Geld ausgeht) und die Idealisierung, die Abstraktion gedanklich durchgeführt wird.


Die mathematischen Objekte, die physikalischen Begriffen entsprechen, nennt man in der Mathematik auch hermitesche Operatoren, deren Eigenschaften damit dort nachlesbar sind.


Jeder physikalische Apparat hat eine Reihe möglicher verschiedener Zustände. Jedem Zustand der Idealisierung, dem Limes einer Baureihe eines Apparates ordnen wir ein mathematisches Objekt $\vert a_i\rangle$ zu. Dabei ist i=1,2,3,4.. ein Laufindex, der diese Zustände der Reihe nach abzählt. Sie sind sicher abzählbar, da sie der Experimentator nur der Reihe nach realisieren kann. Dabei numeriert er seine Versuche durch, und mag sie danach dann nach der Größe der Zahlen ordnen. Sie bleiben aber abzählbar.


Es gibt Operatoren mit wenigen verschiedenen Zuständen Eine Meßapparatur, die mißt, ob eine Probe nass ist, hat nur zwei Zustánde, $\vert a_1:nass\rangle$ und $\vert a_2:nicht nass\rangle$. Analog für Apparaturen, die messen, ob es warm ist, regnet, windig ist, pp. Andere Apparatetypen haben aber wesentlich mehr Zustände, z.B. wenn $\hat A $ messen soll, wie schwer eine Probe ist, dann gibt es, -nach vielen aber endlich vielen Versuchen mit verschiedenen Probematerialien, jedenfalls durchnumerierbare aber eben doch sehr viele, abzählbar unendlich viele verschiedene Zustände der Apparatur. Zu jedem dieser Zustände gehört eine rationale Maßzahl, das Ergebnis der Messung.


Ein physikalisches System ist eine Apparatur, an der eine Messung durchgeführt wird, über die man etwas wissen will. Die Messung der Dichte eines Bleiklotzes setzt eben dier Realisierung des Bleiklotzes voraus. Physikalische Systeme werden nun ebenfalls wie Apparturen durch Bau- plus Verfeinerungsvorschrift und Limesbildung definiert. Physikalische Systemen ordnen wir das mathematisch Objekt $\Sigma$ zu. Ein solches System hat ebenfalls verschiedene Zustände. Offensichtlich gibt es ein


Dualitätsprinzip: Jeder physikalische Apparat ist auch ein physikalisches System und umgekehrt.


Eine Messung heißt also, einen Apparat in einem vorgegebenen Zustand auf ein physikalisches System loszulassen, dessen Zustand vor der Messung in einen i.a. anderen Zustand nach der Messung überführt hat.


Das Dualitätprinzip hat nun aber eine (für manche Leser überraschende) Konsequenz: Bei einer Messung werden Apparat und System, an dem die Messung ausgeführt wird, beide in jeweils einen neuen Zustand überführt. Anders gesagt: Bei einem Experiment gibt es keine Ursache und Wirkung, sondern die Auswahl, was Ursache und was Wirkung ist, bleibt der Willkühr des Exeriment-Protokollanten überlassen. Das Experiment besagt nur: Der Apparat $\hat A $ und das System $\Sigma$ sind beide in neuen Zuständen. 11


Satz 2: In der Physik gibt es keinen Ursache-Wirkungszusammenhang sondern nur Experimente mit physikalischen Apparaten und Systemen unter Beachtung ihres Dualitätsprinzips..


Wir unterscheiden die Abbildung $\hat A $, das Urbild $\vert b:\Sigma\rangle$und das Abbild $\vert b^{'}:\Sigma\rangle$. Parallel ändert sich entsprechend der Dualität auch der Zustand von $\hat A $ auf Grund der Einwirkung von $\Sigma$als Apparat..


Einen Sonderfall wollen wir vermerken: Nehmen wir an, die Messung der Eigenschaft a mittels der Einwirkung der Apparatur $\hat A $ auf $\Sigma$ bringt keine Änderung des Zustandes von $\hat A $ und damit auch von $\Sigma$. Dann nennt man solche Zustände auch Eigenzustände des Operators $\hat A $. Liegt ein Eigenzustand vor bezüglich des Versuches der Messung mittels des Apparates $\hat A $, so läßt sich nicht feststellen, ob überhaupt eine Messung stattgefunden hat. Bekannte Beispiele sind natürlich: Sei der Apparat 'Geldausgeben' auf das System 'Portemonaie' angewandt. Er ändert i.a. den Zustand des Portmonaies. Nicht jedoch, wenn das Portemonaie im Zustand 'leer' ist. Wir sagen also: ''ein leeres Portemonaie ist Eigenzustand zum Operator Geldausgeben''. Wir bemerken dann nicht durch Hineinschauen, ob gerade Geld ausgegeben wird oder nicht.. 12

Die physikalische RaumZeit

Die13 physikalische RaumZeit müssen wir nun mit den eingeschränkten Mitteln der Theorie des physikalischen Meßprozesses erforschen. Dieser Prozeß wird iterativ sein und uns schließlich hart an den Rand aktueller Forschung führen. Doch gemach.


Als vorwissenschaftliche Erfahrungen mögen genannt werden:
- es gibt 'materielle Körper' (mK), Tisch, Tafel, Stuhl, .. manchmal werden sie auch etwas vage 'mechanische Objekte' genannt.
- mK lassen sich bewegen, verbiegen, teilen, aneinandersetzen.


Physikalisches System 'Faden': Wir kaufen uns ein Seil. Wir bestellen (als Iterationsvorschrift) ein neues Seil 'deutlich dünner und länger'. dies wiederholen wir solange nacheinander, bis der Händler nicht mehr liefern oder wir es nicht bezahlen können. Die weiteren Iterationsschritte nehmen wir gedanklich vor. Den Limes nach unendlich vielen Schritten bezeichnen wir als Faden und ordnen ihm ein mathematisches Objekt $\cal B$ zu.


Wir kaufen uns ein Tintenfaß und einen Pinsel. Mit diesem markieren wir auf einem Faden drei mit diesen Mitteln herstellbare möglichst nahe benachbarte Flecke. Als Iterationsschritt kaufen wir schrittweise feinere Pinsel, soweit dies möglich ist. Den idealisierten Grenzwert der drei benachbarten Flecken auf dem Faden nennen wir Nachbarschaftsbeziehung. Den mittleren Punkt nennen wir im folgenden $\cal P$, die beiden anderen Punkte, die auf derselben Kurve liegen, sind durch den Punkt $\cal P$ getrennt. Von jedem dieser beiden Nachbarpunkte aus erscheint der andere hinter $\cal P$, er selbst sieht sich natürlich vor $\cal P$. Diese eindeutige 'Vor/Hinter Beziehung' der drei Punkte nennt man auch eine orientierte eindimensionale Nachbarschaftsbeziehung (d.h., wenn man eine Kurve durch $\cal P$ zieht, dann trennt dieser die Punkte davor von den Punkten dahinter.


Zeichnung


Wir haben also nun den Faden mit einer eindimensionalen orientierten Punktmannigfaltigkeit mit Orientierung ausgerüstet.


Diese Orientierung erlaubt es nun, auf dem Faden entlang zu wandern: von $\cal P$ zum Nachbarpunkt $\cal P_1$ vor $\cal P$, von diesem zu seinem Nachbarpunkt 'vor $\cal P_1$, also $\cal P_2$, und so fort. Eine Änderung der Nachbarschaftseigenschaften auf unserer Wanderung stellen wir nicht fest. Wir ordnen daher der orientierten Punktmenge $\cal B$ die Menge der reellen Zahlen zu. Diese Abbildung kann auf vielfältige Weise erfolgen, (welche Zahl ordne ich dem Punkt $\cal P$ zu, für die Wahl der Zahl für $\cal P_1$ habe ich jede Freiheit, sofern sie nur größer ist als die für $\cal P$), es kommt also auf die Abbildung der Orientierung und der Nachbarschaft an, nicht auf die aktuellen Zahlen. Eine solche Abbildung heißt auch affine Abbildung. Beispiele solcher affinen eindimensionalen Zusammenhänge sind die 'wärmer/kälter' Relation in der Thermodynamik, 'schwerer/leichter' in der Mechanik, 'weniger/mehr elektrisch geladen' in der Elektrodynamik.


Wir erfahren also auf unserem Faden $\cal B$, daß kein Punkt vor dem anderen ausgezeichnet ist (Isotropie des Raumes) und daß überall die gleichen Nachbarschaftsbeziehungen gelten (Homogenität des Raumes, zwei grundlegende Eigenschaften des Physikalischen Raumes.


Eine weitere Erkenntnis ist, daß physikalische RaumZeit-Eigenschaften nur insofern definiert sind, wie sie mit materiellen Körpern ausmeßbar sind, - ohne Materie wäre also die RaumZeit nicht ausmeßbar.


Bei einer Bewegung des Fadens ändern sich die Nachbarschaftseigenschaften nicht (die 'Topologie' ändert sich nicht).


Die vorwissenschaftliche Erfahrung sagt, daß mechanische Körper 'diskret' sind (voneinander unterscheidbar), aber miteinander in Berührung/Kontakt gebracht werden können. Wir denken uns daher nun zwei verschiedene Fäden miteinander an einem Punkt 'festgeklebt' (fest berührt). Erste Versuch ergeben, daß wir nun zwei Nachbarschaftsbeziehungen zum selben Punkt, die unabhängig voneinander sind, denn schon die Nachbarschaftspunkte sind verschieden. Auch an dieser Eigenschaft ändert sich durch Bewegen des gekreuzten Fadenpaares nichts.


Als Nächstes kaufen wir uns einen guten Vorrat an Fäden und versuchen, sie so eng wie möglich aneinander zu schmiegen. Dies geschieht wiederum iterativ. Seile lassen sich sehr gut eng nebeneinander auf dem Boden auslegen. Daran ändert sich auch nichts, wenn wir zu feineren Seilen übergehen, wenn wir den 'parallelen' Fadensatz verbiegen. Diese parallele Schichtung ist ebenfalls unabhängig von der gemeinsamen Bewegung im 'Raum', von Verbiegungen, Streckungen, Stauchungen.


Nun nehmen wir zwei solcher Fadensätze und kleben sie zu einem Fadennetz, auch Haarnetz genannt. Die genaue Klebevorschrift ist: Klebe einen Faden von Satz 2 an Punkt $\cal P$ von Satz 1. Nun gehe längs Faden aus Satz 1 durch $\cal P$ zu dem Nachbarpunkt $\cal P_1$ auf Faden 1 aus Satz 1. Dort klebe den nächsten Faden von Satz 2 an. Setze dies längs des ganzen Fadens 1 aus Satz 1 fort, bis alle Fäden aus Satz 2 verbraucht sind. Nun gehen wir von $\cal P$ längs des an ihm festgeklebten Fadens aus Satz 2 zum Nachbarpunkt von $\cal P$ auf ihm. Dort kleben wir den nächsten Faden aus Satz 1 an. Iterativ gelingt es so, ein Fadennetz zu erzeugen, dicht gestopft und aus zwei gekreuzten Lagen bestehend. Jeder Faden aus Satz 1 ist nur an je einer Stelle mit jedem Faden aus Satz 2 gestgeklebt, jedem Teppichknüpfer wohl bekannt. Dies nennen wir ein affines zweidimensionales Fadennetz. Mit ihm läßt sich nun gut der Raum erforschen. Bewegungen oder Verzerrungen des Netzes ändern die Nachbarschaftseigenschaften nicht.


Wir setzen nun diese Konstruktion fort. Wir nehmen einen dritten Fadensatz, wiederholen die Verklebevorschrift mit den bereits verklebten ersten zwei Fadensätzen, einen vierten, fünften, sechsten. Dabei machen wir eine überraschende Entdeckung. Wir können jeden Ort errreichen, wenn wir von $\cal P$ ausgehend, erst längs des Fadens aus Satz 1 durch $\cal P$ genügend weit laufen, bis wir geeignet zu einem Faden aus einem weiteren Satz und dann aus immer weiteren Sätzen abbiegend, den gewünschten Ort erreichen. Überraschenderweise genügen bereits stets nur drei Fadensätze, um jeden beliebigen Ort zu erreichen. Daher nennen wir den Physikalischen Raum der klassischen Mechanik dreidimensional. Das Wandern längs eines Fadens nennen wir Paralleltransport14, Den Paralleltransport längs eines Fadens nennen wir auch Translation längs $\cal F$.


Die Paralleltransporte längs verschiedener Fadensätze haben nun eine weitere überraschende Eigenschaft: Wir gehen von einem Punkt P(i) auf dem Faden $\mu$ aus Satz 1, nennen wir ihn $P(i,\mu,1)$ längs ihm zu einem Nachbarpunkt $P(i+1,\mu,1)$, dort wechseln wir auf den Fadensatz 2, der Klebepunkt sei $P(i,\nu,2)$, wandere längs dem Faden $\nu$ aus Satz 2 zum Nachbarpunkt $P_(i+1,\nu,2)$, gehe dort auf den dort angeklebten Faden auf Satz 1 zurück $P(i+1,\nu,2)=P(i+1,\mu+1,1)$, dort zurück zu $P(i,\mu+1,1)$und von dort auf Fadensatz 2 zurück zum Ursprung. Mit solchen kleinen zum Ursprung zurückkehrenden Ausflügen erfahren wir: jeder Weg kann auch in umgekehrter Reihenfolge durchlaufen werden, jeder dieser Ausflüge mit gleichen Schritten führt zum Ursprung zurück, jeder Punkt im Raum ist durch Wandern auf drei solchen verklebten Fadensätzen erreichbar. Auf den Weg im Einzelnen (Weg in der Großstadt mit feinem Straßennetz), kommt es nicht an. Man nennt solche Punktmannigfaltigkeiten dreidimensional und Abel'sch oder kommutativ, nach dem Mathematiker Abel.


Ein Schritt fehlt noch und Zeichnung


Paralleltransporte im mehrdimensionalen Raum haben also eine Verknüpfung: das Hintereinanderausführen von solchen Transporten auf dem gleichen oder auf verschiedenen Fadensätzen. Bezeichnen eine solche Verknüpfung mit (+) und einen Paralleltransport längs eines Fadens in einer Richtung aus einem Satz i mit Ti(a), um einen Weg von einem zu einem anderen Punkt auf einem Faden aus Satz i xu beschreiben. Die Angabe dieser beiden Punkte nennen wir ( $P(a;\mu,i), P(b;\mu,i)$ oder kurz A(a,b).


Einen Satz von Eigenschaften eines physikalischen Begriffes nennen wir Algebra. Die Algebra des Hintereinanderausführens von Paralleltransporten ist leicht erfahrbar:


Es gibt einen Transport T(B) mit einem Punktepaar B(b,a),das wir auch anschaulich mit T(-B) bezeichnen könnten, derart daß

Ti(A) (+) Ti(B) = T(0) . Existenz eines Inversen

soll besagen, zu jedem Transport längs eines Fadens gibt es den umgekehrten Prozeß, T(0) steht für 'man landet wieder beim Ausgangspunkt'.


Existenz eines identischen Transports Ti(0)vo, Punkt a zum selben Punkt a:

Ti(A) (+) Ti(0) = Ti(A) . (6)

Transporte können vertauscht werden

Ti(A) (+) Tj(C) = Tj(C) (+) Ti(A). Kommutativ-Gesetz (7)

Man kann auf nicht triviale Weise zum Ausgangspunkt zurückkehren.

Ti(A) (+) (Tj(B) (+) Tk(C)) = (Ti(A) (+) Tj(B)) (+) Tk(C) Assoziativ-Gesetz (8)

Alle diese wichtigen Eigenschaften müssen wir durch Experimente erfahren. Der gesamte Stell15 von Eigenschaften heißt Algebra der Verknüpfung 'Hintereinanderausführen von Paralleltransporten. Diese bilden eine kommutative Lie-Algebra (benannt nach dem Mathematiker Lie, weil er sich zuerst mit Algebren befaßte, die für beliebige Punktepaare aus einer kontinuierlichen orientierten Punktmannigfaltigkeit gilt).


Die physikalische Zeit hat eine eindimensionale Nachbarschaftsbeziehung des 'früher, später' im Sprachgebrauch. Jeder mechanische Faden hat in seiner Längsrichtung ein bei der tatsächlichen experimentellen Erzeugen ('Spinnen durch eine Spinne') eine zeitliche 'Nacheinander' Nachbarschaftsrelation aufgeprägt. Diese können von späteren Wanderern auch nur in der gleichen Abfolge (wenn auch verschieden schnell) durchlaufen werden.


Eine zusätzliche Komplikation ist die notwendige Erfüllung des Kausalitätsprinzips: die höchstmögliche Geschwindigkeit, mit der längs eines Fadens gelaufen werden kann, ist für alle Fäden gleich und gleich c, der Lichtgeschwindigkeit. Dies bedingt, daß es keinen Faden mit allen seinen Punkten zu gleicher Zeit geben kann (keine universelle 'Gleichzeitigkeit'), während der 'Faden' zu festem Ort im Volksmund einfach Uhr heißt und nach der Kausalität natürlich erlaubt ist, aber zum den Raum bedeckenden Netz nichts beiträgt.


Längs eines Fadens, der einen gegebenen Punkt zu einer Start-Zeit mit seinen späteren Punkten verbindet (auch topologische lokale Uhr genannt).

Es ist also vollkommen problemlos, die vorgenannten Überlegungen auf die Zeit auszudehnen und die Physikalische RaumZeit als homogenen isotropen vierdimensionalen Raum mit den Paralleltransporten in drei Raumdimensionen und einer Zeitdimension, also in einer vierdimensionalen Welt zu erkennen, mit einer kommutativen Abel'schen Algebra für das Hintereinanderausführen von Paralleltransporten. (Auch Uhren kann man zurückstellen). Eine algebraisch erkennbare verschiedene Unterstruktur, etwa daß Raum und Zeit verschiedene Eigenschaften hätten, ist nicht erkennbar. Die RaumZeit in der Physik bildet ein homogenes vierdimensionales isotropes Kontinuum mit einer aufgeprägten Eigenschaft für Spazierwege. Die historische scharfe Unterscheidung von Raum und Zeit finden wir hier nicht gerechtfertigt.

noch fehlende Kapitel

Die Struktur der physikalischen RaumZeit

Eigenschaften physikalischer Größen

Modellbildung physikalischer Systeme

Zerlegung in Bausteine

Wechselwirkungstypen

Physikalische Prinzipien zur Berechnung

Algebra and Physics

This text is

For a mathematician this text is unreadable: few proofs, and then only sketched, incomplete, neglecting all kinds of sophistic subtleties, -for these we have the huge set of Algebra textbooks developed to perfection over the decades, -and unusuable in daily life physics, not only because of its often clumsy notations,.. - for a physicist, having worked through textbooks with titles such as Mathematical Physics I hope at least the next edition (in 1998) reading through will be a real pleasure..

Aim for this text

This text (together with textbooks, exercises, ..) is aimed to support for a student on his way to become a physicist, to think and work algebraic, to discover rules, recognize rules, check the consistency of rules, think in rules, work with rules, - and thus help design, set up and exploit experiments to transfer them to Theoretical Physics, the language of which is Algebra, to predict successfully new experiments, called understanding nature.

textbooks

Any textbook of Linear Algebra will do, if read in comparison to this lecture and other books. Specifically addressing young physics students are, -apart from some all-time classics such as D. Hilbert: Mathematische Methoden der Physik,- and used here are the books by the highly respected theoretical physicist S. Grossmann[], specifically carefull with exercises and getting trained, by the mathematician G. Behrendt[] who tries to skip the details of proofs sometimes in favour of getting more practical training, and the book by Dennery[], which is most useful for those to gain a thorough background for the theoretical physics classes to come including quantum mechanics. A derivative of this book is the script, passed out to local students, of R. Ebert, a theoretical physicist and R. Göbel, a mathematical physicistsee:Skript.

From Physics to Algebra - and back

We just give here an aphoristic short essay of what should be learned elsewhere.


Physics casts nature into relations between observables. Let the physicists do the work of addressing a specific experiment. They have to define the physical system in question (by giving the physical real design in all details, and even building it if it is not a mechanical apparatus[]. This can be learned in classes of Theory of Measuring in Physics, Theorie des Meßprozesses, etc, and will not extensively touched here but we need it as the necessary background what to learn Linear Algebra for. The above specified real definition of the Physical System in question defines the Physical System in question. We map it to a yet undefined alebraic quantity $\sum$. In Physics the to be assigned algebraic properties are defined by properties of the real physical system in experiments. We need the real physical experiments to learn about the algebraic properties of $\sum$ 16


An experiment is bringing into contact (at least) two different systems $\sum$ and $\sum^{a}$ and study (measure) their changed properties afterwards. Such a property is recorded by reading off some gadgets. Obivously both systems need properties to be realized at all. Examples of properties are (colour, weight, length, height, mass, ..). Their measurement means reading off the gadget and noting the result. Up to now, any of the physical properties of any system have either real numbers for their measurement the result can be mapped to real numbers. Examples are the height is 12 cm, the colour is green. All possible colours can be ordered according to their frequency and then mapped to real numbers. Up to now, more precisely, for any physical observabele, the set of all accessible measurements could always be mapped to the rational numbers only. The rational numbers are any number which can be written as a quotient of two integer numbers. Any real number can be approximated to any wished finite accuracy by rational numbers. The advantage is that rational numbers can be ordered such that they can be mapped to the set of integer numbers, they are 'countable', whereas real numbers are not countable (abzählbar). In Quantum mechanics we will learn that there is even more truth to it, it can be proven there that any physical property has only a countable (though still possibly infinite) number of different measurent values. ootnoteWe do not go so far, although we can understand this rgument, to eliminate all real numbers from physics at all, as recommended by one of the most internationally respected German Physicists, J. Ehlers, but will use for abbreviation and elegance of writing for the ratio of the experimental measurements of the circumference of a circle divided by its diameter the real number $\pi$,..


In measuring with a system $\sum$ the properties of another system $\sum^{a}$ by reading off the gadgets for measuring the properties of $\sum^{a}$ we are beware of course of one specific case: let us assume the gadget y had the value 3.1 before, and shows after the measurement the same value. Then we really do not know, has there has been an experiment with contact to $\sum$ at all or not. Such a state we call an eigenstate of $\sum$ with regard to y of $\sum^{a}$.


To summarize:

Physics is measuring numbers

Dies ist eine einfache Einführung in das elementare Rüstzeug, um physikalische Aussagen mit mathematischen Mitteln darzustellen und mitzuteilen. Wir werden auf alle mathematischen Sonderfälle, Verallgemeinerungen, Weiterungen etc. verzichten, um den Einstieg in die Anschauung als Physiker zu gewinnen: einfache Beispiele üben, bis sich die Anschauung einstellt, und DANN mit den Mathematikern reden (oder sie lesen).


Die Anforderungen an mathematisches Rüstzeug für die Physik sind: 17

Integranden als Königsweg zwischen Integrieren und Differenzieren

Das einfache gewöhnliche eindimensionale Integral wollen wir so umformulieren, daß die Beschreibung den o.g. Anforderungen genügt.


Gegeben sei also eine gewöhnliche Funktion f(x) mit $x \in [a,b]$, die integriert werden kann zu

 \begin{displaymath}\int_a^b f(x) {\mathrm d }x = F(b) - F(a) \end{displaymath} (9)

Die einzelnen Bausteine dieser Formulierung sind das Grundgebiet, das Integral und der Integrand.

Das Grundgebiet

$x \in [a,b]$ ist die Menge aller Punkte vom Anfangspunkt a zum Endpunkt b. Es ist eine eindimensionale orientierte einfach zusammenhängende 'Punktmannigfaltigkeit, die durch das kalligraphische Symbol ${\cal C}_{{1}}$ bezeichnet wird, der Index gibt die Dimension an, hier ist es eine eindimensionales Streckenstück. Jeder Punkt im Innern dieser Punktmenge hat einen unmittelbar 'vor' ihm liegenden und einen unmittelbar 'hinter' ihm liegenden Punkt in unmittelbarer Nachbarschaft (aus der Sicht der Wanderung von a nach b).


Die beiden Randpunkte zeichnen sich dadurch aus, daß sie auf der x-Achse in unmittelbarer Nachbarschaft vor/hinter sich einen Punkt aus ${\cal C}_{{1}}$ und auf der entgegengesetzten Seite einen Punkt in der unmitelbaren Nachbarschaft, der NICHT zu ${\cal C}_{{1}}$ gehört. Solche Punkte heißen Randpunkte, sie bilden selbst eine orientierte, wenn auch 'Null-dimensionale' (nur isolierte Punkte) Punktmenge ${\cal C}_{{0}}$, mit der besonderen Eigenschaft Rand von ${\cal C}_{{1}}$ zu sein. Wir bezeichnen dies als $\partial {\cal C}_{{1}} = {\cal C}_{{0}}$
Diese beiden Randpunkte, die ${\cal C}_{{0}}$ bilden, sind in ihren Nachbarschaftseigenschaften alle gleichartig, es gibt keine besonderen Randpunkte von der Randpunktmenge von ${\cal C}_{{1}}$.


Diese Beobachtung fassen wir nun im Satz von Columbus18


\begin{displaymath}\partial \partial {\cal C}_{{q}} = {\mathrm Leere Menge} \end{displaymath} (10)

Dieser Satz gilt f jede ür beliebige einfach zusammenhängende, orientierte, q-dimensionale Punktmannigfaltigkeit im n-dimensionalen Raum (natürlich ist $0 \leq q \leq n$).

Das Integral

Das Integral stellt man sich ja meist ebenso anschaulich wie umständlich als Vorschrift vor: Eindimensional: nimm die Strecke $x \in [a,b]$, teile sie in Ngleiche Intervalle der Intervall-Länge $\Delta x = (b-a)/N$, nimm irgendein x aus einem Intervall, berechne für dieses den Funktionswert f(x), multipliziere beide, $\Delta x f(x)$ und addiere die so gewonnenen Beiträge aus allen Intervallen. Vom Resultat, dem Summenwert bilde schließlich den Limes $N \rightarrow \infty$des Summationsergebnisses,- und lehne Dich erschöpft zurück,

\begin{displaymath}\int_a^b f(x) {\mathrm d }x = {\mathrm lim}_{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{N} \Delta x f(x_i) \end{displaymath} (11)




Klarer formuliert und für ein q-dimensionales Grundgebiet heißt das doch:


nimm jeden Punkt aus der Grundmenge ${\cal C}_{{q}}$ und berechne den Integranden, summiere dann alle Beiträge auf.


Die numerische Realisierung bleibt dem Leser überlassen (Näherung durch Einteilung von ${\cal C}_{{q}}$ in q-dimensionale kleine 'infinitesimale' Gebiete19 und jeweils Berechnung von f(x)). Diese ganze Vorschrift wird durch das Summationszeichen beschrieben:

\begin{displaymath}\int_{Grundgebiet} {\rm Integrand} \end{displaymath} (12)

Der Integrand

f(x) d x werde durch f (ohne Argument) abgekürzt:

f := d x f(x) (13)

Falls das Integral erfolgreich berechnet werden konnte, gab es eine Funktion F(x), deren Differential (d /d x) F =f(x) wir nun mit ${\rm d }x$ multiplizieren und so

d F = f (14)

erhalten. f läßt sich integrieren, wenn es eine Funktion F gibt, mit d F=f. Da wir ja nicht viel über die Menge der denkbaren Funktionen f(x) verraten haben, ist durchaus denkbar, daß F wiederum integrierbar ist, d.h. daß es wiederum eine Funktion $\phi$ gibt mit ${\mathrm d }\phi =F$. Hintereinander geschrieben kann jeder Leser (so hoffe ich doch), die zweifache Integration einer nicht näher erläuterten Funktion fleicht selbst durchführen, stimmts?

\begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{q}}} f =\int_{{\cal C}_{{q}}} {\mathrm d }F ... ...\mathrm d }\phi = \int_{\partial \partial {\cal C}_{{q}}} \phi \end{displaymath} (15)

Netter geschrieben ergibt dies, da ja $f={\mathrm d}F = {\mathrm dd} \phi $ ist, die Äquivalenz

\begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{q}}} {\mathrm dd}\phi = \int_{\partial \partial {\cal C}_{{q}}} \phi = 0 \end{displaymath} (16)

denn eine Summe zu bilden aus keinem Summanden (die Punktmenge $\partial \partial {\cal C}_{{q}}$ ist ja die leere Menge) besteht, ist natürlich Null20


Damit haben wir eine tiefliegende Äquivalenz zwischen der Integrationsgrundgebiets-Aussage $\partial \partial {\cal C}_{{q}}= {\mathrm leere Menge}$und der differentiellen Aussage 'das Differential d zweimal angewendet auf einen beliebigen Integranden ergibt stets die Null',

\begin{displaymath}{\rm dd} = 0 \equiv \partial \partial {\cal C}_{{q}} = {\rm leere Menge}. \end{displaymath} (17)

Diese schöne Aussage werden wir gleich vertiefen. Zunächst aber schreiben wir das Ergebnis dieses Kapitels an, das Integral für eine Dimension:

 \begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{1}}} {\mathrm d }F = \int_{\partial {\cal C}_{{1}}} F . \end{displaymath} (18)

Ersichtlich erfüllt diese Darstellung des einfachen eindimensionalen Integrals (in der üblichen Schreibweise $ \int_a^b {\mathrm d} x f(x) = F(b) - F(a)$ sähe man das nicht), alle Anforderungen an ein gutes Rüstzeug, denn für beliebige Dimension $q\leq n$ eines orientierten Integrationsgrundgebietes ${\cal C}_{{q}}$ sieht es formäquivalent aus:

\begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{q}}} {\mathrm d }F = \int_{\partial {\cal C}_{{q}}}F \end{displaymath} (19)

Wir müssen nun nur noch üben, welche Integrandentypen es in der Physik in den verschiedenen Dimensionen geben kann. 21


Die Integranden sind je eine Zahl für jeden Punkt aus der Grundmenge ${\cal C}_{{q}}$, fertig zur Aufsummation. Die Darstellung der mathematischen Inhalte mittels Integranden und ihrer Integration über orientierte Punktmannigfaltigkeiten erfüllt alle unsere Forderungen an ein sinnvolles und effektives Rüstzeug. Weder gehen für die Darstellung Koordinaten ein, noch sind die Formeln abhängig von der Dimensionszahl des Raumes oder der Integrationsgrundmenge. Vor Einführung dieser Darstellung durch Cartan[] etwa 1940 war je nach Dimension des Grundgebietes und des Raumes ein eigener mathematischer Satz notwendig, benannt nach ihren Entdeckern, z.B. Green, Stokes, Gauß. Daher wird der Integrationssatz [] auch manchmal Satz zur Integration von Green-Stokes-Gauß genannt. 22


Hier folgen Beispiele für die üblichen Schreibweisen Green Stokes Gauss

Physikalische Objekte

Dieses Kapitel zeigt, wie verschiedene in der Physik gebräuchliche Objekte (Skalare, Vektoren, Tensoren,.. ) in Integranden eingehen können. Danach lassen sich vom Leser oder Leserin alle Skripten zur Einführung der Physik unter konsequenter Vewendung von Integranden umschreiben. Sie werden damit wesentlich verständlicher, wesentlich einfacher und anschaulicher.


In der Physik treten nur Objekte auf, deren mathematische Darstellung sich unter Koordinatentransformationen verhalten wie Skalare (Zahlenwert unabhängig von der Koordiantenwahl), Vektoren oder Tensoren. Aus ihnen lassen sich jeweils Skalare bilden durch Skalarprodukte mit einem anderen Vektor.


Wie treten nun physikalische Objekte in Integranden auf? Zum einen hatten wir ein Obkjekt F, zahlenwertig und nur an den isolierten Randpunkten einer eindimensionalen Grundmenge aufzusummieren, diese nennen wir eine 0-Form, die Bezeichnung wird gleich suggestiver werden. Eine Funktion, die zu jedem Raumpunkt einer Grundmenge ${\cal C}_{{0}}$ einen Zahlenwert ausgibt, nennt man auch Skalarfeld (' an jedem Raumpunkt ist ein (koordinatenunabängiger) Skalar angeheftet. Manchmal heften wir zur Erläuterung den Index Null an, F0).


Das Integral über eine eindimensionale Grundmenge (Intervall auf einer Kurve oder Strecke) war im ${\ R}_1$ eine gewöhnliche Funktion f(x), der Integrand also

\begin{displaymath}f := \mathrm d x f(x) \- \- . \end{displaymath} (20)

Einen solchen Integrandentyp nennen wir 1-Form, weil in ihm ein Differential d x auftritt. Als Skalarprodukt ist f leichter in einem Raum höherer Dimension zu erkennen: Im ${\cal R}_n$ ist der Integrand eines Integrals über der Grundmenge eines eindimensionalen Kurvenstücks ${\cal C}_{{1}}$ ein Skalarprodukt eines Vektorfeldes mit einem 'Differentialvektor'. Beide seien nun erläutert.


Ein Vektorfeld $\vec{v}(x)$ bezeichnet die Vorschrift, an jedem Raumpunkt x einen Vektor $\vec{v}$ anzuheften. In einer graphischen Darstellung hätte man dann ein hübsches 'Strömungs'-Bild. Jeder dieser Vektoren mit seinen n Komponenten transformiert sich unter Koordinatentransformationen wie ein normaler Ortsvektor.


Die Komponenten des Differentialvektors $\vec{{\mathrm d }x}= ({\mathrm d }x_1, {\mathrm d } x_2, ..., {\mathrm d } x_n)$stellen die Komponentendarstellung des infinitesimalen Tangentenvektors längs des Kurvenstücks ${\cal C}_{{1}}$ dar, das Skalarprodukt

\begin{displaymath}v := \vec{{\mathrm d}x_{}} \vec{v}(x) \end{displaymath} (21)

ist also wieder ein Zahlenfeld für jeden Punkt aus der orientierten Punktmenge ${\cal C}_{{1}}$ und stellt den Integranden für ein Linien-oder Kurvenintegral dar.


$\vec{{\mathrm d }x}$ zeigt zugleich in der Richtung der Orientierung des orientierten Kurvenstückes, es 'trägt die Orientierung von ${\cal C}_{{1}}$in den Integranden hinein'.

\begin{displaymath}\vec{{\mathrm d } x} = ({\mathrm d }x_1, {\mathrm d }x_2, .., {\mathrm d }x_n) \end{displaymath} (22)

Zur Erleichterung fügen wir manchmal als Index für 1-Formen die Eins an, v1.


Die Verallgemeinerung auf mehrdimensionale orientierte Integrationsgebiete ${\cal C}_{{q}}$ im ${\cal R}_n$ liegt dann auf der Hand: ein physikalische Feld wi,j,k,.. klebt an jeden Ort des q-dimensionalen Grundgebietes im Rnein Objekt an mit qn Komponenten. (So hat ein Vektor in der Komponentendarstellung einen Index, der von 1 bis n läuft). Bezüglich jedes Index transformiert sich wi1,i2,i3,..,iq wie ein Vektor. Ein Beispiel ist die lokale Wirbelstärke von Strömungen von Flüssigkeiten, bei der man an jedem Ort angeben muß wie stark die Strömung um diesen Ort herumzuwirbeln scheint, dazu braucht man je eine Zahl für jedes mögliche Achsenpaar der Koordinaten, also 1 für die Dimension 2, 3 für die Dimension 3, 6 für 10, usf. oder (n , 2) :=n(n-1)/2 für n Dimensionen. Das ist nur mit einem Objekt wi,j mit zwei Indices unterzubringen.


Entsprechend bilden wir nun für q-dimensionale Grundgebiete die entsprechenden Produkte infinitesimaler Stücke der orientierten Fläche:

 \begin{displaymath}{\mathrm d}x_{i_1} {\mathrm d}x_{i_2}..{\mathrm d}x_{i_q} {\mathrm mit }\quad i=1,2,3,...,n . \end{displaymath} (23)

Und ebenso entsprechend wird nun die q-Form wq als skalarer Integrand eingeführt,

\begin{displaymath}w_q := \sum_{i_1,i_2,..i_q}^n {\mathrm d}x_{i_1} {\mathrm d}x_{i_2}..{\mathrm d}x_{i_q} w_{i_1,i_2,..i_q} \end{displaymath} (24)

Das mag für den Anfänger etwas mühsam aussehen, insbesondere doppelte Indices ir, aber damit ist ja nur gemeint: 'nimm ein q-dimensionales orientiertes Grundgebiet, zerlege es in kleine orientierte infinitesimale q-dimensionale Gebiete, die das Gebiet ausschöpfen, - man kann das Gebiet dann aus diesen infinitesimalen Gebieten zusammenpflastern,- spanne diese mit Hilfe der dxir auf, und bilde dann das Skalarprodukt mit wi1, .. mit dem entsprechenden Index und fahre mit jedem Index entsprechend fort. [Die Oberfläche eines Würfels im R3 liesse sich also mittels 'Infinitesimalen' d xi1 d xi2pflastern, wenn nur beide Indices alle drei Richtungen durchlaufen].


Hier ist eine historische Bemerkung angebracht: Mathematiker benutzten den Begriff 'Infinitesimale' seit Leibniz für die elementare Algebra des Differenzierens. Hier dagegen sind die gleichgeschriebenen Objekte Träger der Algebra der Differentialformen. Eine 'Algebra' ist ein konsistenter, vollständiger Satz von Rechenregeln einer vorgelegten Klasse von Objekten. Die 'Infinitesimale sind hier also die elementarsten Differentialformen.


Das Integral hat dann in beliebigen Dimensionen n des Raumes über ein beliebiges orientiertes q-dimensionales Grundgebiet stets die einfache Form des Aufsummierens der Werte der q-Form als Integrand für jeden Punkt des Grundgebietes, fertig als Vorschrift für jede Rechenmaschine, also auch die Vorstellung des Lesers.

\begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{q}}} w_q \end{displaymath} (25)

Wie sichern wir uns nun dagegen, daß wir versehentlich mehr Infinitesimale verwenden, als ${\cal C}_{{q}}$ Dimensionen hat? Wie kann denn überhaupt ein Produkt von Infinitesimalen die Orientierung des kleinen aufgespannten Gebietes von ${\cal C}_{{q}}$und damit von ${\cal C}_{{q}}$ insgesamt sichern? Dies geschieht auf einfache und anschauliche Weise durch die Orientierungsbedingung

dxi dxj = - dxj dxi (26)

Vertauschungen von Infinitesimalen sollen durch ein Vorzeichenwechsel geahndet werden. Dies bewirkt automatisch, daß sich durch zwei gleiche Infinitesimale kein Flächenstück aufspannen läßt,

dxi dxi = - dxi dxi = 0 . (27)

Die Orientierung der Grundgebiete einer Integration bewirken eine Antisymmetrie der Integranden.


Alle Integranden eines Integrals im ${\cal R}_n$ über eine q-dimensionale orientierte Fläche bilden einen ''antisymmetrischen Raum', den ${\cal E}_q $ . Ersichtlich sind dessen Eigenschaften von der Dimension n des einbettenden Raumes ${\cal R}_n$ abhängig.


Jeder Integrand. Fq im ${\cal E}_q $wird durch Festlegung seiner Komponenten festgelegt. So hat ein Kurvenintegrand als '1-Form' $\sum_{i=1}^n A_i {\mathrm d}x_{i}$die n Komponenten des Vektors $\vec{A}= \left( A_1, A_2, ..., A_n\right( $ als charakterisierende Zahlen, bei einem Flächintegranden als '2-Form' $\sum_{i,j=1}^n F_{i,j} {\mathrm d}x_{i}{\mathrm d}x_{j}$zunächst die n2 Komponenten des Tensors Fi,j als charakterisierende Zahlen. Wegen der Antisymmetrie dxidxj=-dxjdxisind es jedoch nur $(n^2-n)/2=(n 2)=n\!/((n-2)\! 2\!$. Interessanterweise sind diese Fakultätenausdrücke symmetrisch: (n q) = (n n-q). Daher hat eine q-Form in einem ${\cal R}_n$gleichviele charakterisierende Zahlen wie eine (n-q) Form im gleichen Raum. Die q-Formen im ${\cal R}_n$, die den ${\cal E}_q $ bilden, lassen sich bijektiv auf den ${\cal E}_{n-q}$ des ${\cal R}_n$abbilden. Diese schöne Eigenschaft der Integranden über orientierte Punktmengen werden wir im Folgenden nutzen.

Der große Symmetrisator

Die Antisymmetrie der Integranden, gebildet aus physikalischer Observabler und Infinitesimalen über einem orientierten Grundgebiet läßt scheinbar keinen Platz für die Vielzahl der ja bekannten unter Spiegelungen symmetrischen physikalischen Observablen, so ändert sich weder die Dichte von Materie in einem infinitesimalen Gebiet unter Spiegelungen, noch die Quellstärke eines sumpfigen Gebietes, beides gut beobachtbare Größen. Die Präparation solcher unter Spiegelungen 'invarianter' Objekte geschieht nun durch den großen Symmetrisator, manchmal auch einfach Stern-Operator, $\star $, genannt.


Der Stern-Operator bildet jeden Integranden $F_q \in {\cal E}_q $ab in einen neuen Integranden $G_{n-q}:= \star F_q \in {\cal E}_{n-q} $. Der Raum aller q-Formen (q-dimensionalen Integranden) im ${\cal R}_n$ist isomorph dem Raum aller (n-q)-Formen (n-q-dimensionalen Integranden) im ${\cal R}_n$.


Als erstes Beispiel betrachten wir die Dichte einer vorgelegten Materieprobe, die oft mit $\rho$ bezeichnet wird. Sie gibt zu jedem Ort eines infinitesimalen Volumgebietes eine Zahl, deren Mittelwert M über ein endliches Raumgebiet mit Messungen verglichen werden kann. $\rho := \rho(x)$ ist also eine skalare Funktion und daher als Integrand über ein Raumgebiet $\cal V$ mit dem Volumen V ungeeignet. Der große Symmetrisator rettet uns aus dieser selbstgestellten Falle.

\begin{displaymath}\star \rho := {\mathrm d}x_{1} \- {\mathrm d}x_{2}\- {\mathrm d}x_{3}..... \- {\mathrm d}x_{n} \- \rho \end{displaymath} (28)

für den ${\cal R}_n$, -und der Leser erkennt die übliche Formel für den Fall dreier Dimensionen

\begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{3}}} \star \rho = M({\cal C}_{{3}}) \- = \- ... ... {\mathrm d}x_{2} \- {\mathrm d}x_{3} \rho(x_1,\- x_2, \- x_3) \end{displaymath} (29)

M ist für kleine Raumgebiete ${\cal C}_{{n}}$proportional zum Volumen von ${\cal C}_{{n}}$,

\begin{displaymath}V({\cal C}_{{n}}) = \int_{{\cal C}_{{n}}} \star 1 = \int_{{\c... ...}x_{1} {\mathrm d}x_{2} {\mathrm d}x_{3}..... {\mathrm d}x_{n} \end{displaymath} (30)

mit $\cal V$ als dem Volumen des Gebietes ${\cal C}_{{n}}$ in der früher gebräuchlichen Formulierung. Ersichtlich hat der Symmetrisator ein Objekt aus ${\cal E}_0$ in ${\cal E}_n$ abgebildet, nämlich $\rho$ in $\star \rho$. Beide Integranden haben als Träger der physikalischen Information, als 'Variable' nur die eine Zahl $\rho$. Information ist also durch die Abbildung nicht verloren gegangen.


Diese Abbildung läßt sich nun für beliebige Dimension q des Grundgebietes verallgemeinern. Stets bildet der Stern-Operator einen Integranden aus ${\cal E}_q $ auf einen solchen aus ${\cal E}_{n-q}$ ohne Informationsverlust ab. Das wollen wir nun üben.


Nehmen wir ein Strömungsfeld $\vec{v}(x)$ einer Flüssigkeit. Die Strömungsgeschwindigkeiten $\vec{v}$ sind ein Vektorfeld, der zugehörige Integrand eines Linienintegrals über ein Kurvenstück ist $v := \vec{v}(x) \vec{{\mathrm d }x}$

\begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{1}}} v = \int_{{\cal C}_{{1}}} \vec{v}(x) \vec{{\mathrm d }x} . \end{displaymath} (31)

Einen solchen Integrand nennt man entsprechend auch 1-Form, er ist ein Element aus dem ${\cal E}_1$. Es werden an jedem Ort des Pfades die Projektionen des Strömungsfeldes längs des Weges aufsummiert. Ersichtlich hat v im ${\cal R}_n$ genau n unabhängige Komponenten (charakterisierende Zahlen, die man messen könnte) und ist eine 1-Form, seine Komponenten vi sind ein Vektor.


Aber was ist dann $\star v$ ? Wir geben nun die allgemeine Definition des Stern-Operators und nutzen sie dann für die gestellte Frage.


Der Sternoperator schaut bei einer q-Form, also einem vorgelegten Integranden eines Integrals über ein q-dimensionales Gebiet nach, welche der möglichen Auswahlen von den ja zum Integrieren notwendigen Produkten von q verschiedenen Infinitesimalen im Integranden vorhanden sind, ersetzt diese durch jeweils genau die übrigen n-q Infinitesimale. Hinzu kommt ein Vorzeichen, falls die gedachte Aneinanderreihung der Raumkomponentenindices der Infinitesimale keine gerade Permutation der Zahlenreihe 1,2,3,4,... ist.


Das Strömungsfeld v = v1dx1 + v2dx2+ ...+ ... +vndxnhat n unabhängige Komponenten. Der Sternoperator ist dann leicht nach der Vorschrift anzuwenden, denn es fehlen ja jeweils alle Infinitesimale bis auf je eins, jeder Summand erhält dann also genau die komplementären Infinitesimale (und wir achten auf die zyklische Reihenfolge der Indices, damit das Vorzeichen möglichst stets positiv ist):

\begin{displaymath}\begin{split} \star v &= v_1 {\mathrm d}x_{2} {\mathrm d}x_{3... ...}x_{2} {\mathrm d}x_{3}..... {\mathrm d}x_{n-1}\\ \end{split}\end{displaymath} (32)

Ersichtlich hat der neue Integrand $\star v$ ebenfalls n Komponenten, es ist also keine Information verloren gegangen, aber die Summanden sind jeder ein Integrand für ein Integral über ein n-1-dimensionales Grundgebiet.


Beispiel: Die Anschauung ist im ${\cal R}_2$ einfach: nehmen wir einen geschlossenen Weg ${\cal C}_{{1}}$ in der Ebene, so ist $\int_{{\cal C}_{{1}}} v$ das Linienintegral der Strömungskomponente von $\vec{v}$längs des Weges. Dies ist zum Beispiel das 'Arbeitsintegral' in der klassischen Mechanik: $\int_{{\cal C}_{{1}}} \vec{K} {\mathrm d } x$ (Kräfte, für die dieses verschwindet, nennt man dann 'konservativ'). Nach dem Satz von Green-Stokes-Gauß kann man das Integral aber nun in ein Flächenintegral umformen, denn die geschlosssene Linie ist ja Rand der umrandeten Fläche:

\begin{displaymath}\begin{split} \int_{{\cal C}_{{1}}} v &= \int_{\partial {\cal... ...\mathrm d}x_{2} (\partial_1v_2 - \partial_2v_1) \\ \end{split}\end{displaymath} (33)

Dieser Flächenintegrand ist schön antiymmetrisch, und natürlich für beliebige orientierte Flächen im ${\cal R}_n$ definiert mit den n(n-1)/2 Komponenten $\partial_\mu v_\nu - \partial_\nu v_\mu$ für alle $\mu,\nu=1,2,3..,n$. In drei Dimensionen gibt es für dieses Objekt gerade 3(3-1)/2=3Komponenten, und es ist historisch üblich, für diese eine Kurzschreibweise einzuführen, die den Sternoperator ausnutzt:

\begin{displaymath}{\mathrm rot} \vec{v} := \star \mathrm d v = {\mathrm d}x_{1}... ...tial_1v_3) + {\mathrm d}x_{3} (\partial_1v_2 -\partial_2v_1) , \end{displaymath} (34)

die 'Rotation' von $\vec{v}$. Zwar bilden diese drei Komponenten keinen Vektor, weil sie unter Spiegelungen ihr Vorzeichen nicht ändern, aber das wurde sprachlich behoben, indem man dies einen 'axialen Vektor' nannte. Natürlich gibt es in weniger oder mehr als drei Raumdimensionen keine Rotation, wohl aber stets die Objekte

\begin{displaymath}\mathrm d v = {\mathrm d}x_{i}{\mathrm d}x_{j} (\partial_i v_j - \partial_j v_i) \- , \end{displaymath} (35)

das totale Differential von v. 23


Dagegen hat das Integral über $\star v$ einen ganz anderen Wert und Bedeutung:

\begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{2-1=1}}} \star v = \int v_1 {\mathrm d}x_{2}... ..._{1} = \int v_1 {\mathrm d}x_{2} - \int v_2 {\mathrm d}x_{1} . \end{displaymath} (36)

Nehmen wir eine einfache geschlossene Kurve: das Rechteck, gebildet aus den Linien in der x,y-Ebene: von (-1,-1) zu (1,-1) zu (1,1) zu (-1,1) und zurück zu (-1,-1). Das Vektorfeld sei $\vec{v}(\vec{x})=(v_x(x,y), v_y(x,y)$. Beide Komponenten von $\vec{v}$haben also an jedem Raumpunkt (x,y) einen Wert. In diesem Beispiel nehmen wir an, es sei speziell $v_x(x,y)=x; \- v_y(x,y)=y$. Dann stömt es schön an allen Randpunkten von innen nach außen, radial vom Ursprung weg. Das o.g. Integral wird dann einfach

\begin{displaymath}\int_{(-1,-1)}^{(1,-1)} - v_2 {\mathrm d}x_{1} \int_{(1,-1)}... ...\mathrm d}x_{1} \int_{(-1,1)}^{(-1,-1)} v_1 {\mathrm d}x_{2} \end{displaymath} (37)

und die Auswertung ergibt -(-1) 2 + 1 2 + 1 2 -(-1) 2 = 8, überall am Rande strömt es heraus aus dem Karton. Physikalisch summiert das Integral über den ganzen Rand, was herausströmt.


Zugleich ist aber das Rechteck die orientierte Randkurve zur Rechteckfläche: $ {\cal C}_{{1}}:=(-1,-1;1,-1;1,1;1,-1;-1,-1) =\partial {\cal C}_{{2}} $, der umrandeten Rechteckfläche und das Randintegral wird nach dem Satz von Green-Stokes-Gauss zu einem Flächenintegral über das Differential des Randintegral-Integranden,
$\displaystyle \int_{{\cal C}_{{1}}} \star v$ = $\displaystyle \int_{\partial{\cal C}_{{2}}} \star v = \int_{{\cal C}_{{2}}} \mathrm d \star v$ (38)
  = $\displaystyle \int_{{\cal C}_{{2}}} ({\mathrm d}x_{1} \partial_1 + {\mathrm d}x_{2} \partial_2) \star ({\mathrm d}x_{1} v_1 + {\mathrm d}x_{2} v_2)$  
  = $\displaystyle \int_{{\cal C}_{{2}}} ({\mathrm d}x_{1} \partial_1 + {\mathrm d}x_{2} \partial_2) ({\mathrm d}x_{2} v_1 - {\mathrm d}x_{1} v_2)$ (39)
  = $\displaystyle \int_{{\cal C}_{{2}}} ({\mathrm d}x_{1} {\mathrm d}x_{2} (\partial_1 v_1 + \partial_2 v_2)$  

Dieser schöne symmetrische Integrand heißt in der älteren Literatur auch $\mathrm{div} \vec{v} $ oder Divergenz des Vektorfeldes $\vec{v}(x)$. Es mißt die lokale Quellstärke. Das Integral summiert diese dann über alle Quellpunkte im Rechteck zur integralen Gesamtquellenstärke des Rechteckes, was man makroskopisch messen kann.


XXXXXXXXXhier wird gearbeitetZXXXXXXXXXXXXX


Längs des Wegstückes dx2 wird der Wert der Komponente von $\vec{v}$senkrecht dazu (in 1-Richtung) aufsummiert, und beim zweiten Summanden ist es analog.24 Das Vorzeichen sorgt nun dafür, daß auf allen vier Integrationsstücken stets die Komponente von $\vec{v}$ gemessen und aufsummiert wird, die senkrecht zur Integrationskurve und aus dem Volumstück heraus strömt. Insgesamt mißt also $\int v$ die Zirkulation von v um das Flächenstück ${\cal C}_{{2}}$ und $\int \star v$ die gesamte Quellstärke (Die Menge an Flüssigkeit, die aus dem Rand insgesamt herausströmt, denkt man sich im Innern durch eine Quelle eingebracht..). Da an jedem Kurvenpunkt der Geschwindigkeitsvektor zwei Komponenten hat (wir haben ja ein ebenes Problem), sind damit alle 'Freiheitsgrade' von $\vec{v}$ abgebildet auf entsprechend viele unabhängige Integrale und damit meßbare Observable.


In höheren Dimensionen für das Grundgebiet und den Raum wird zunehmend die Anschauung strapaziert, - und der Rechner ohne Kenntnis der Regeln für Integranden verliert leicht die Kontrolle über die Vorzeichen. Aber vor beidem schützt der große Vorteil der Formulierung mit Integranden: die Formeln gelten in gleicher Form für alle Werte von q und n.


Nehmen wir den Drehimpuls als ein Beispiel: Er hat so viele unabhängige Komponenten (meßbare Zahlen,wie es Möglichkeiten gibt, zwei Koordinatenachsen aus den gegebenen nauszuwählen, nennen wir sie i und j, die entsprechenden Kompenenten des Impulses und des Ortsvektors zu messen und als Variable die Differenz xipj - yi zu bilden. Ersichtlich gibt es $\binom{n}{2}=n(n-1)$ solche Paare25, also in zwei Dimensionen eine, in drei Dimensionen drei, in vier Dimensionen sechs, und so fort.


Alle Komponenten des Drehimpulses bilden zusammen einen antisymmetrischen Tensor, denn seine Komponenten ändern bei Vertauschung zweier Indices das Vorzeichen und die Diagonalelemente sind ersichtlich Null (gleiche Indices). Man nennt ein solches Objekt nicht Matrix sondern Tensor, weil sich die Komponenten dieser Matrix unter Koordinatentransformationen wie ein Vektor bezüglich jedes der beiden Indices verhält.

lij := xi pj - xjpi (40)

Welche Integrationen können wir nun sinnvoll mit diesem Objekt ausführen. Dazu bilden wir zunächst aus dem Orts- und Impulsvektor die entsprechenden 1-Formen und multiplizieren diese mit dem Ergebnis der 2-Form 'Drehimpuls'

 \begin{displaymath}\begin{split} & x := \vec{{\mathrm d}x_{}} \vec{x} = \sum_{i=... ...} \equiv {\mathrm d}x_{i}{\mathrm d}x_{j} l_{ij}\\ \end{split}\end{displaymath} (41)

Gemäß einer von Einstein beim Segeln auf dem Schilf-umrandeten Kaput-See bei Berlin ersonnenen und nach ihm benannten Einstein-Konvention kann man in Formeln in der Physik, in denen Summen über Koordinatenindices auftauchen, das Summenzeichen stets beim Schreiben weglassen, weil in Ausdrücken, über die zu summieren ist, stets die entsprechenden Indices doppelt auftauchen ('Skalarproduktbildung').


Der Integrand Drehimpuls l hat zwei Infinitesimale, ist also ein Integrand über eine Fläche. Als sinnvoll meßbare Größe erhalten wir damit den Gesamtdrehimpuls der Teilchen oder der Strömung, die an jedem Ort der Fläche einen Impuls ($\vec{p}$ bzw. $\rho \vec{v(\vec{x})}$ besitze (der auch Null sein kann). Durch den Flächeninhalt geteilt, ergäbe sich eine Drehimpulsdichte.

\begin{displaymath}L({\cal C}_{{2}}) := \int_{{\cal C}_{{2}}} l \end{displaymath} (42)

So einfach wird dies durch die Nutzung der Integranden. Und von der Dimension des Raumes ${\cal R}_n$, in dem diese Fläche liegt, ist die Formel, da mit Integranden geschrieben, vollkommen unabhängig.


Wir können nun aber aus l noch einen weiteren Integranden erzeugen, indem wir den Stern-Operator anwenden, den 'großen Symmetrisator'.

\begin{displaymath}\star l = \epsilon(i,j;[1,2,3,..,n;/i,j]) \left[ {\mathrm d}x... ... {\mathrm d}x_{n} / {\mathrm d}x_{i} {\mathrm d}x_{j} \right] \end{displaymath} (43)

Das sieht etwas mühsam aus, ist ja auch in n Raumdimensionen. Das $\epsilon$ besagt aber einfach, daß ein Vorzeichen hinzugefügt werden soll, wenn die Zahlenfolge i,j;[1,2,3,..n;/i,j] also die Zahlen in der Reihenfolge i, j und dann von 1 anfangend bis n aber unter Auslassung der ja bereits vorhandenen i,j bis n.

Das totale Differential

Nun wollen wir das 'totale' Differential einer Form kennenlernen. Das ist nichts anderes als die Verallgemeinerung der gewöhnlichen Ableitung auf Formen statt Funktionen und auf beliebig viele Dimensionen. Um den Leser nicht zu verschrecken: der Formalismus soll wieder dimensionsunabhängig und koordinatenfrei formuliert werden. Noch besser: viele der verwirrend vielen und kompliziert zu nutzenden Operationen wie 'Divergenz', 'Gradient', 'Rotation', die in verschiedenen Dimensionen ganz verschieden zu handhaben sind, werden wir nur ein einziges mathematisches Objekt benötigen: das totale Differential mit der Notation, - wie könnte es anders sein: d .


Wieder beginnen wir mit einigen Beispielen:
Eine gewöhnliche Funktion einer Variablen, F(x) ergebe abgeleitet die neue Funktion einer Variablen f(x) := F'(x). Als Notation für die Ableitung nach x werden oft auch andere Notationen verwandt:

 
F'(x) = d F/x = d /d x F = d x F = ... (44)

Wir verzichten wieder auf alle wunderbaren Erweiterungen, die sich erst in gekrümmten vieldimensionalen Räumen erschließen.


Das bisher verwendete 'Infinitesimal' d x erweist sich nun als Differential der Koordinate x, d x =d x(Tautologien sind ja auch was Schönes).

Ergänzende Materialien

'Teamteaching'

Dieses Dokument soll auch eine Hilfe geben für die Probleme der Nutzung, Akzeptanz neuer Darstellungen physikalischer Inhalte mittels mathematischer Objekte und damit verbunden anderer Schreibweisen in der Physik. Die Studenten der Physik des zweiten Semesters in Oldenburg haben daher zu einer Serie von 'Streitgesprächen', genauer aber von 'Teamteaching' zur Darstellung der Physik in der Lehre in den Anfangssemestern' eingeladen. Hierauf sind wir gespannt. Die Themen aus unserer Sicht sind im Anhang 'Streitgespräche' aufgeführt. Eine erste Runde fand zum Thema Der Spin und seine Darstellung in den ersten Semestern im SS 1999 statt.

Ausschreibung zu einem Wettbewerb

Physiker aller Semester, besonders aber Anfangssemester laden wir zu einem Fußballspiel ein. Der erste Torschütze bekommt eine gute Flasche Rotwein. Weitere Torschützen kommen in die 'Hall of Fame'. Die Regeln finden sich im
Anhang 'Fussballspiel'. Sie sind noch in einem frühen Zustand.

Workbench: Lehrmaterialien aus dem Internet

Studenten der Generation (1. Semester: WS.1997) haben interessante Links aus dem Internet zusammengetragen und nach Themen geordnet, die Workbench Theoretische Physik.

Proseminar

Literatur

Vorlesungsskript zur Analysis I und II H. Wolter
Lehrmaterial anderer Autoren zur Einführung der Theoretischen Physik

   
Transcript of algebra used in an introductory physics text

Im Internet finden wir ein Skript von W. Lücke, Univ. Clausthal. Einführung in die Theoretische Physik. Wir emfehlen dies als vertiefende Lektüre.


As an example of the usefulness of the differential forms notation we transcribe K. Hinsch, Concepts of Physics (Grundlagen physikalischer Messungen (Grundkurs Physik I)), Kapitel 7 'General characterization of fields'. For guidance we set the section numbers to the same values as the script and it is recommended to have this on the desk 26 and even use the same page numbers, - to ease the demonstration how much the use of integrands shorten and simplify and thus make physics more easily understandable. - But the text is written such that you may read it without the experimental textbook at hand as well. 27

Summary of notations

Remember that all formulae given here work in any dimension and curved space not just the Euklidean $\mathcal{R}_3$ as used here. For a more detailed, and even more elementary introduction to differential forms, see the main part of these lectures.


Basic ingredients are the total derivative d, the star operator $\star $, amd the oriented point-manifolds ${\cal C}_{{n}}$ in ndimensions.


The total derivative is defined by
  $\textstyle \mathrm d := \sum_{i=1}^3 {\mathrm{d}}x_i \partial_i \quad ,$   (45)
  $\textstyle {\mathrm d}x_{i} {\mathrm d}x_{j} = - {\mathrm d}x_{j} {\mathrm d}x_{i} \quad .$   (46)

The $\star $ operator picks all dxk found in an expression, and replaces them by all dxl not found, multiplied by an eventual sign, if the ordered list of all k and then l is not an even permutation of 1..3, with n=3, the dimension of the space. Thus in $\mathcal{R}_3$ we have simply $\star 1= {\mathrm d}x_{1}{\mathrm d}x_{2}{\mathrm d}x_{3}$, and $\star {\mathrm d}x_{2}= {\mathrm d}x_{3}{\mathrm d}x_{1}$, and dx1dx2=dx3, and so forth.


Check $\star \star =1$ apart from an eventual minus sign, and d d =0.


For any curve, sheet, or volume area, respectively we write ${\cal C}_{{1}}, {\cal C}_{{2}}, {\cal C}_{{3}}$respectively. In Physics only oriented point manifolds ${\cal C}_{{n}}$ occur. For their surfaces we write $\partial{\cal C}_{{1}}, \partial{\cal C}_{{2}}, \partial{\cal C}_{{3}}$, respectively, which are just: the two endpoints of the given curve, the borderline of the twodimensional sheet, and the surface of the volume area, respectively. It may be unusual to you to read the endpoints of a curve as 'the oriented set of points of the border of the curve', but thats what it is and reminds you neatly for the minus sign in case of an integral, $\int_a^b \mathrm d x f'(x)= \int_{{\cal C}_{{1[a,b]}}} f(b)-f(a)=\int_{{\cal C}_{{0}}} f $. We use the integrands now throughout whenever no argument of a function is given.


Check $\partial\partial {\cal C}_{{i}} ={\mathrm{Empty set of points}}$ for any i=1,2,3. This is called the lemma of Columbus since he had to rely on it when sailing West to find America, that there is no rim of the earth's surface anywhere between.


Scalars of the types
  A := A(x1,x2,x3)   (47)
  B := B1(x1,x2,x3)dx1 + B2(x1,x2,x3)dx2 + B3(x1,x2,x3)dx3   (48)
  $\textstyle C:=\sum_{ij} C_{ij}{\mathrm d}x_{i}{\mathrm d}x_{j}$   (49)
  $\textstyle D:= \sum_{ijk} D_{ijk} {\mathrm d}x_{i}{\mathrm d}x_{j}{\mathrm d}x_{k}$   (50)

these socalled (0,1,2,3), respectively, Forms are scalars and are found as integrands of 0,1,2,3-dimensional integrals. Instead of infinitesimals multiplied by a function summed over infinitesimal pieces of the integration space region now the calculation of an integral is easy: take every point of any given space object ${\cal C}_{{i}}$, calculate the numerical value of the scalar integrand for that point and add them.

General characterization of fields

Flux of vector fields

Given a flow velocity field, (imagine the velocity field of flowing water, with the vector of velocity attached to each point in space), which is a 1-form $v:=\sum_{i=1}^3 {\mathrm d}x_{i} v_i$. What is the amount of 'water' flowing out through a given closed surface area ${\cal C}_{{2}}$ separating the interior volume area ${\cal C}_{{3}}$ with ${\cal C}_{{2}} = \partial {\cal C}_{{3}}$. Closed surface means just $\partial {\cal C}_{{2}} =0$in this case. Think of a sphere ${\cal C}_{{3}}$, its surface ${\cal C}_{{2}} = \partial {\cal C}_{{3}}$., and its empty set of points $\partial \partial {\cal C}_{{3}}=0$.


We do not need to define or use orientation vectors 'pointing vertical' outwards of the surface. This would not work e.g. for the same example but in one dimension less.


The total flux out of ${\cal C}_{{2}} = \partial {\cal C}_{{3}}$ is to be defined as

 \begin{displaymath}\Phi({\cal C}_{{2}}) = \int_{{\cal C}_{{2}}} \star v \quad . \end{displaymath} (51)

Assume no sinks inside the volume. This would mean the divergence $\mathrm d \star v$ to be zero everywhere inside. The continuity condition thus demands that what flowed in through ${\cal C}_{{2}}$ has to flow out at some other part of the surface.

\begin{displaymath}\Phi = \int_{{\cal C}_{{2}}} \star v =0 \quad {\mathrm for } \quad \mathrm d \star v =0 \quad \end{displaymath} (52)

This reasonable claim follows from

\begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{2}}} \star v \quad = \quad \int_{\partial {... ...int_{{\cal C}_{{3}}} \mathrm d \star v \quad = \quad 0 \quad . \end{displaymath} (53)

'GSG' stands for the one relation named at different occasions after Green, Stokes, Gauß and so many other authors. Thus $\Phi$ measures the 'total source strength' of all sources inside the volume area ${\cal C}_{{3}}$. It is a 0-Form or a'number' (that is for water: the amount in liter per second, being created inside and flowing out, etc.). If all local sources are just some point sources ('dwells'), then $\Phi=\sum_\nu \phi_\nu$.


The advantage of the usage of integrands is thus:
- no introduction of orthogonal vectors on surface pieces pointing into an outer space which might not exist, is necessary,
- no explicit calculation for simple cases necessary for proof,
- Orientation is built in automatically,
- simply generalizable for any higher (or lower) dimensions, and curved spaces,
- less to learn and write. Example: Does the electric field have sources?


In Electromagnetism the force on an electric test charge divided by its charge is called the electric field thrength E. As a force field it is a 1-Form,

\begin{displaymath}E:= \sum_{i=1}^3 E_i \mathrm d x_i \end{displaymath} (54)

where the Ei are the components of the electric field strength vector for each point xi.


Its divergence is called 'local charge density' and its volume integral total charge Q.

\begin{displaymath}Q \quad = \int_{{\cal C}_{{3}}} 4 \pi \star \mathrm d \star E... ...}_{{3}} \quad \int_{{\cal C}_{{2}}} \mathrm d \star E \quad . \end{displaymath} (55)

28


Check

\begin{displaymath}\star \mathrm d \star E = 'div'\vec{E}:= \sum_{i=1}^3 \partial_{x_i} E_i\quad . \end{displaymath} (56)

That is why the star operation is called sometimes mystically 'the great symmetrizer'.


For the relation between electric charges, say

\begin{displaymath}Q = \int_{{\cal C}_{{3}}} \star \rho = \sum_\nu q_\nu \end{displaymath} (57)

and by making use of

\begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{3}}} \mathrm d \star E =GSG= \int_{\partial {\cal C}_{{3}}} \end{displaymath} (58)

we gain the wellknown relation between the charge and the electric field strength distribution,

\begin{displaymath}4 \pi Q({\cal C}_{{3}}) \- = \- \int_{\partial {\cal C}_{{3}}} \star E \end{displaymath} (59)

in integral form or equivalently

\begin{displaymath}4 \pi \star \rho = \mathrm d \star E \end{displaymath} (60)

in differential form, known as Gauß-law 29.


Of course we use the usual [cgs] system for dimensions30


As a comment: Sometimes an unmeasurable field, called 'potential' is introduced to 'elucidate' Gauß law. We give two possibilities (out of many).


1.) E being 'conservative force', it may be represented in terms of a new 0-Form, the 'potential' V with

\begin{displaymath}E \- := \- - \mathrm d V \end{displaymath} (61)

Inserting this we get

d E = - d d V =0 (62)

(the components of which are of course those of ' $\mathrm{rot} \vec{E}$' in differential form or, since d E is a 2-Form, the equivalent integral formulation for any (not necessarily closed) twodimensional sheet of points

\begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{2}}}\mathrm d E = \int_{\partial {\cal C}_{{... ... \mathrm d E = - \int_{\partial \partial {\cal C}_{{2}}} V = 0 \end{displaymath} (63)

with no actual calculatin necessary, since we know that $\partial \partial {\cal C}_{{n}}$ for any manifolds in any dimension. The existence of such an integrability is named as Maxwell-equation for electrostatic fields.


One of the equivalent formulations is: Assume the existence of a 0 form field W to construct a 1-form, sometimes called 'vectorpotential' $A:=t \dot W$ with t being the time. Then represent the electric field by $E:= \partial_t A$ and the result is the same.


The suitable choice of a potential field to describe the Maxwell-euation is called 'gauge', since it can be tuned or gauged to some extent by choice, here either by a choosing a 0-form V or a 1-form A. The latter is called the 'preferred gauge' for reasons to become exhibited as late as when we discuss the relativistic quantum electrodynamics where it allows to use the Hamilton formalism in contrast to the choice of V which sticks with the Lagrangian formalism.

Circulation of vector fields

In engeneering and meteorology as well as airplane construction a macroscopic formualation is preferred, using the Circulation Z

\begin{displaymath}Z \quad := \int_{\partial {\cal C}_{{2}}} E \quad . \end{displaymath} (64)

For conservative fields (that is E= -dV) the circulation vanishes,

\begin{displaymath}Z \- = - \int_{partial {\cal C}_{{2}}} \, 0 \, =GSG=-\int_{\partial \partial {\cal C}_{{2}}} \- = \- 0 \quad , \end{displaymath} (65)

which just uses the result that for any n always $\partial \partial {\cal C}_{{n}} = \mathrm{empty set of points}$. Alternatively we could have used the GSG to calculate Z by

\begin{displaymath}Z = \int_{partial {\cal C}_{{2}}} E = \int_{{\cal C}_{{2}}} \... ...nt_{{\cal C}_{{2}}} \mathrm d \mathrm d V \quad = \- 0 \quad , \end{displaymath} (66)

since d d =0 in any dimension space.


Fields with Z=0 are sometimes called irrotational, since there is no net flux along a closed loop.


We now consider two examples: the rotation of flow fields as found in nature in meteorological depressions, (tangential velocities proportional to the distance from the center) and the cirulationless whirls such as the meteorological taifuns (tangential velocities proportional to the inverse of the distance to the centre).


Example: Velocity in the rotation of a 'solid body'

\begin{displaymath}v \, := \, \star (r \star \omega) \quad = \star r \star \omega \quad , \end{displaymath} (67)

if consequently read from right to left: calculate the components of $\omega$, apply the star-operator to it, take the (exterior) product with r, that is just multiply with $r:=\sum_1^n \mathrm d x_i \partial_i $from the left to it and finally again apply the star-operator.


Why this ansatz for v ? We have to get an understanding of rotation of, say a piece of twodimensional plate taking one point fixed, insert in the plane the plate is defining a coordinate system, say i,j and then turn the plate by a given angle $\phi_{i,j}$ by grabbing the axis i and turning it into the direction of j. If the plate happens to be embedded in a n-dimensional space, -no problem: just keep all other axes, with the execption of the involved two, i,j, fixed. Thus we see, that rotation is defined not by a 'rotation axis', but by the two axes defining the rotation plane and the turning angle. This definition works in any dimensional space. In case, we did not take the correct angles, do not worry: just take the two form rotation of i into j by the angle $\phi_{i,j}$summing over all possibilities. The time derivative of it is the angular velocity $\omega$,

\begin{displaymath}\omega := \dot{\phi_{i,j}} {\mathrm d}x_{i} {\mathrm d}x_{j} \end{displaymath} (68)

to be summed over all indices that occur twice, that is i,j.


As an example let us take a twodimensional plane, and turn axis 1 into 2 by the single angle $\phi$. Then $\omega$ just has the one component $\omega = \dot{\phi} {\mathrm d}x_{1} {\mathrm d}x_{2}$and thus simply $\star \omega = \dot{\phi}$, or a 0-form. Now multiply $\dot{\phi}$ by the 1-form r:= x1 dx1 + x2 dx2and again apply the star-operator to arrive at $v:= \star(r \star \omega) = -\dot{\phi} x_2 {\mathrm d}x_{1} + \dot{\phi} x_1 {\mathrm d}x_{2} $and that are just the components of the velocity of a rigidly rotating plane around the center with the angular speed $\dot{\phi}$. So e.g. a point on the 1-axis (that is with coordinates (x1, 0)inserted moves upwards, as it should: $v=(0, \dot{\phi}x_1)$ and thus just proportional to the distance from the center. Such a velocity distribution is known from (hopefully) rigid rotation of a carousel or from the wind speeds and direction around an ordinary meteorological depression, the wind speed increases with the distance from the centre.


One of the advantages is now, that v as a 1-form is an integrand and can thus readily be integrated along any one-dimensional curve, $\int_{{\cal C}_{{1}}} v$. For a closed curve, that is thus the boundary or an area ${\cal C}_{{2}}$ and a time-constant speed of rotation $\dot{\phi}=\mathrm{constant}$ this gives

\begin{displaymath}Z(v) := \int_{partial {\cal C}_{{2}}} v = GSG= \int_{{\cal C}... ...\dot{\phi} \int_{{\cal C}_{{2}}} 1 = 2 \dot{\phi} \, F \quad . \end{displaymath} (69)

because $\dot{\phi}$ is assumed a constant; The object 1 in the last integral is of course the elementary one-form dx1dx2 . The integration was simple, just remember $\mathrm d := \sum_1^2 {\mathrm d}x_{1}\partial_1 + {\mathrm d}x_{2}\partial_2$and multiply this with the components of the above given v.


F is the area of the part of the plane which is enclosed by the closed curve ${\cal C}_{{1}}$ we started of with. Hope, the reader enjoys that we do not have had to actually calulate anything specific nor retreat to just circles.

\begin{displaymath}I\, := 2 \dot{\phi} \end{displaymath} (70)

is called the vorticity or 'circulation per enclosed area.

Circulation and flux in differential notation

Be a vector field $\vec{E}$ be given with its components (here for two dimensions of the space) $(E_1(x_1,x_2), \, E_2(x_1,x_2)$. It defines the one-form $E:= \sum_1^2 E_i {\mathrm d}x_{i}$. For higher dimensions of the space just add the respectice components.


There are two differential operations we can perform with it:
d E $\textstyle = \sum_{(i<j)=1}^n 1/2 \, (\partial_i E_j - \partial_j E_i){\mathrm d}x_{i}{\mathrm d}x_{j}$   (71)
$\displaystyle \star \mathrm d \star E$ $\textstyle = \sum_1^n \partial_i E_i$   (72)

(Check by inserting the definitions of $\star $, d and E for, say, two dimensions.


The components of d E are sometimes called curl E and are the components of a twodimensional antisymmetric tensor with no components inone dimension, one in two dimensions, and so forth. Just in 3 dimensions we have three components. In n dimensions we have n(n-1)) components.


Clearly d E can be calculated in any dimension of space, but for less than 2 it is zero. d E is of course a 2-form.


The integration of the integrand E gives

\begin{displaymath}\int_{{\cal C}_{{2}}} \mathrm d E = \, \mathrm{GSG} \, = \, \int_{\partial {\cal C}_{{2}}} E \end{displaymath} (73)

a line integral over a closed line.


$\star \mathrm d \star E$ is, since E is a one-form, a $1 \rightarrow (n-1) \rightarrow n \rightarrow 0 $ form. The expression $\star \mathrm d \star E$ is sometimes called div E.


Physics relations are often formulated using the objects curl and div applied to vector fields. In addition for scalar fields, say, V:=V(x-1,x2,..)For these $\star \mathrm d \star$ is always zero, because of dxi dxj=-dxj dxi. But

\begin{displaymath}\mathrm d V \, = \, \sum_1^n \partial_i V {\mathrm d}x_{i} \end{displaymath} (74)

is a useful one-form, the coefficients of which are the components of the vector field $\vec{\nabla } V$, sometimes called grad V. Clearly, due to using the forms, the $\star $ and the dtot operators, we gain absolute control over differential properties of physical fields for any dimensions and any complexity of the physical objects, let they be scalar, vector, or tensor fields.


To give some examples:
If a vector field, say the electric field strength E can be calculated from a scalar potential field V by differentiation, E=d V then

\begin{displaymath}\mathrm d E = \mathrm d \mathrm d V \, = \, 0 \quad . \end{displaymath} (75)

because of the antisymmetry of the differentials. The field E is then called 'rotation-free' or 'conservative'. Of course d d is always zero, sometimes called ' $\mathrm{rot} \mathrm{div} \equiv 0$' or $\mathrm{rot} \mathrm{grad} \equiv 0$ in three dimensions, beware, but d d Q is always zero independent of the type of the form, - just should be a m<(n-2)form.


For three dimensions, some thumb rules to be able to read old textbooks of the last century are given here
  $\textstyle '\mathrm{rot}' \sim \mathrm d$   (76)
  $\textstyle '\mathrm{div}' \sim \star \mathrm d \star$   (77)
  $\textstyle '\mathrm{grad}' \sim \mathrm d$   (78)

Some physical objects are listed here:
Scalar fields are mechanical potential fields V(x1,x-2,..). One-forms are the space point fields x, the velocity fields of a flow, v, the momentum distribution p, the force field K, the electric field E, and so forth. Two-forms are e.g. the magnetic field B:=d A with the magnetic potential one-form A, the stress field of solids, the angular momentum density, and so forth.


Newton's law reads

\begin{displaymath}\dot{p} = \, K \end{displaymath} (79)

. Experiments are done by measuring. Measured are numbers. Thus the usual vector-algebra is neither a direct way to calculate from theory results which can be compared with experiment. The only arguments for using operations such as the 'vector product', the 'axial vectors' are that it works in three dimensions, and that tradition since 50 years found its way into textbooks, - and apparently the brains and 'Anschauung' of the everyday physicist.


However, improving the tools in applying theory to everyday physics has in the past resulted in major steps of getting better 'Anschauung', more direct ways to results and to application in a wider range of fields.


Imagine, I was grown up in physics before the usual vector algebra got into use, that is, we had to write down and learn every single application of vector algebra with components-writing.. E.g. calculating the vector product of two vectors $\vec{a}, \vec{b}$ by the determinant

\begin{displaymath}\begin{vmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b-2 & b_3 \\ \end{vmatrix}\end{displaymath} (80)

the result claimed to be a 'polar vector' (one which does not change sign with mirroring). However: What will the reader do in the case of only two dimensions (or any other than three) with this construction? There is no such thing as a 'polar vector'.


Instead, we construct out of the ordinary vectors $\vec{a}, \vec{b}$the respective integrands, as they would occur in line integrals, if they were the basic ingredients of vector fields with constant coefficients, $a:=\sum_1^n a_i {\mathrm d}x_{i}, \- b:=\sum_1^n b_i {\mathrm d}x_{i}$. Thus we can apply all formulae for vector fields, and immediately find the correct expression for the vector product, here called the 'exterior product':

\begin{displaymath}D:= a \wedge b = 1/2 \, \sum_{i<j}^n (a_i\, b_j - a_j \, b_i) {\mathrm d}x_{i}{\mathrm d}x_{j} \quad . \end{displaymath} (81)

The components of this two form is the antisymmetric tensor of rank two which is the 'vector product'. D is an ordinary two-form. Indeed, it gives the right result not only in two but in any dimension. And as a bridge to the past, $\star D$ in three dimensions is indeed the historic vector-product and a real and ordinary one-form.


And the forms are scalar integrands (numbers), independent of coordinate transformations and ready to be used to integrate over the respective point manifolds. Thus they are the right objects to be dealt with if one wants to strengthen the contact to daily experimental physics.


By this first inspection we are encouraged to use the forms formalism throughout even for the simple cases of one point moving in space and asking for its path and its properties.


We will make use of the formalism also to calculate any of the complicated formulae in vector calculus without having ever to resort to the vectors, to vector products, and the like,-- and we will thus not only have much simpler formulae, less work and less tedious derivations, but the results will contain all necessary signs and will work in any dimension, including the simple twodimensional cases. We will not need 'artifical dimensions', such as the third direction of a 'vector product' but stay in the two dimensions spanned by the two involved vectors. Imagine you would meet an ant on a carousel, and explain to her, the force dragging her to the rim needs a third dimension to be calculated, and with this you point to the sky..

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Literatur

Über dieses Dokument ...

Einführung in die theoretische Physik

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