In der globalen Analysis untersucht man, wie die Lösbarkeit gewisser partieller Differentialgleichungen mit 'globalen' (topologischen) Eigenschaften des zugrundeliegenden Raumes zusammenhängen. Zum Beispiel ist ein rotationsfreies Vektorfeld in der Ebene automatisch der Gradient einer Funktion, während dies für rotationsfreie Vektorfelder auf der punktierten Ebene im Allgemeinen nicht gilt.
Das Differentialgleichungsproblem 'Ist ein rotationsfreies Vektorfeld automatisch ein Gradientenfeld?' kann also 'erkennen', ob der zugrundeliegende Raum (Ebene bzw. punktierte Ebene) ein Loch hat oder nicht. Die Weiterentwicklung dieser Idee führt zur de Rham-Kohomologie und Hodge-Theorie und in seiner allgemeinsten Form zum berühmten Indexsatz von Atiyah und Singer.
Die globale Analysis nimmt nicht nur in der modernen Mathematik einen festen Platz ein, sondern auch in der theoretischen Physik.
Ein Schwerpunkt aktueller Forschung liegt auf der Frage, ob sich die Ideen der globalen Analysis vom Kontext glatter, kompakter Mannigfaltigkeiten auf singuläre und nicht-kompakte Räume verallgemeinern lassen. Ein Beispiel eines singulären Raumes ist der Kegel. Allgemeiner sind semialgebraischen Mengen von Interesse, d.h. Mengen, die durch Gleichungen und Ungleichungen von Polynomen (in mehreren Variablen) beschrieben werden können.
Eng verwandt hiermit und noch grundlegender sind geometrische Fragen über singuläre Räume. Zum Beispiel: Wie verlaufen die Geodäten (kürzesten Linien) nahe den Singularitäten? Wie berechnet man approximativ das Volumen kleiner Bälle um singuläre Punkte?
D. Grieser
B. Vertmann
