Läuft ein Lichtstrahl durch einen anisotropen dielektrischen Kristall, dessen elektrische Permittivität ε≠1 und richtungsabhängig ist, so hängt die elektrische Flussdichte D der elektrischen Feldkomponente E des Lichts über die Materialgleichung

D=εE

von dessen Ausbreitungsrichtung relativ zum Kristall ab, wobei ε der Permittivitätsvektor ist. Dieser gibt den Wert der Permittivität entlang der jeweiligen Hauptachse (x,y,z) an. Über die Beziehung

n_i=√(ε_i / ε_0), i∈{x,y,z}

wobei ε_0 die Permittivität des Vakuums ist, folgen hieraus die drei Hauptbrechungsindizes n_i des jeweiligen Kristalls.

Der Brechungsindex n beeinflusst im Allgemeinen die Phasengeschwindigkeit des Lichts:

c=c_0/n

wobei c_0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Da in den anisotropen dielektrischen Kristallen richtungsabhängige Brechungsindizes auftreten, ist die Phasengeschwindigkeit des Lichts beim Durchlaufen dieser Kristalle also richtungsabhängig. In der Praxis wird dieser Effekt interessant, sobald die Polarisationsebene des elektrischen Feldes des Lichtstrahls nicht parallel zu einem der Hauptachsen des Kristalls verläuft. In diesem Fall wird die Polarisationsebene in zwei Komponenten parallel zu zwei senkrecht aufeinander stehenden Kristallachsen, den sogenannten Normalmoden, aufgespalten und vermöge derer unterschiedlichen Brechungsindizes uneinheitlich verzögert. Beim Verlassen des Kristalls weist das Licht damit eine veränderte Polarisation auf.
Besonders einfach lässt sich dieser Effekt anhand der Ausbreitung von linear polarisiertem Licht in Richtung einer der Hauptachsen des Kristalls verstehen. In diesem Fall gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder die Polarisationsebene des Lichts ist Parallel zu einer der beiden übrigen Hauptachsen oder nicht. Im ersten Fall tritt keine Veränderung der Polarisation des Lichts ein, da nur eine Normalmode existiert. Im zweiten Fall wiederum werden die beiden durch die o.g. Projektion entstehenden Normalmoden gegeneinander verzögert, sodass das Licht nach durchlaufen des Kristalls i.d.R. elliptisch Polarisiert ist.

Der allgemeine Fall, bei dem sich das Licht in beliebiger Richtung ausbreitet, müssen die beiden Normalmoden über das Indexellipsoid bestimmt werden. Dieses dreidimensionale geometrische Objekt wird über die drei Hauptbrechungsindizes festgelegt:

1 = x²/n_x² + y²/n_y² + z²/n_z²

Die Brechungsindizes n_a und n_b der beiden Normalmoden ergeben sich aus dem Indexellipsoid auf folgende weise:

Zunächst wird die zur Ausbreitungsrichtung k des Lichts senkrechte Ebene durch den Ursprung des Indexellipsoids bestimmt. Die Schnittfläche dieser Ebene mit dem Indexellipsoid ist die Indexellipse. Die beiden Hauptachsen dieser Ellipse sind dann gerade n_a und n_b.

Ein vereinfachender Spezialfall ist durch einachsige Kristalle gegeben, bei denen zwei Brechungsindizes gleich sind.

Bei einachsigen Kristallen wird das Indexellipsoid zu einem Indexrotationsellipsoid, welches rotationssymmetrisch zur optischen Achse z ist, d.h. es gilt n_x=n_y=n_0. Das Licht, dessen Ausbreitungsrichtung k einen Winkel θ mit der optischen Achse z einschließt, zerfällt dann in die zwei Normalmoden mit den Brechungsindizes n_0 und n(θ). Hierbei wird die Normalmode mit n_0 als ordentliche Welle und die mit n(θ) als außerordentliche Welle bezeichnet. n(θ) ergibt sich aus der Ellipsoidgleichung durch Einsetzen von Kugelkoordinaten:

1/n²(θ) = cos²(θ)/n_0² + sin²(θ)/n_z²

In Abhängigkeit von θ bewegt sich der Brechungsindex der außerordentlichen Welle also zwischen n_0 und n_z.

Im folgenden Video ist die Dynamik des Brechungsindex n_0 (pink) der ordentlichen Welle und n(θ) der außerordentlichen Welle (lila) in Abhängigkeit der Ausbreitungsrichtung des Lichts k (rot) gezeigt. Das Indexellipsoid ist grau schraffiert und die Indexellipse blau.
Gut zu erkennen ist der konstante Brechungsindex n_0 der ordentlichen Welle und anhand der Form des Indexellipsoids die Eigenschaft n_0 > n_z des hier gezeigten Kristalls.