Wir können diese Stufen aber nicht nur anhand ihrer Energie identifizieren, sondern ihnen auch ganze Zahlen zuweisen, denn im Jahr 1885 entwickelte der Mathematiker Johann Jakob Balmer eine Formel, die den mathematischen Zusammenhang zwischen den Wellenlängen des sichtbaren Wasserstoffspektrums zeigen konnte. Die Linien konnten nicht mehr nur beobachtet, sondern auch berechnet werden. Die heute als Balmer Formel bekannte Gleichung lässt sich folgendermaßen darstellen:

$\lambda =A\left(\frac{n^2}{n^2-2^2}\right)$

mit A = 364,56 nm und n = 3,4,5,...

Balmers Formel sagte auch voraus, dass Wasserstoff weitere Linien im Bereich des ultravioletten Lichts aussenden müsse, die man mit dem bloßen Auge nicht erkennen kann. Das sind die Wellenlängen, die du für n = 7,8,9 berechnet hast. Die Entdeckung dieser Linien kurze Zeit später zeigte, dass Balmers Formel korrekt war.

1888 veröffentlichte der Physiker Johannes Rydberg eine Verallgemeinerung der Balmer-Formel:

$\frac{1}{\lambda }=R_{\mathrm{\infty }}\cdot (\frac{1}{{n_1}^2}-\frac{1}{{n_2}^2})$

mit $R_{\mathrm{\infty }}$= 1,097 • 10⁷ $\frac{1}{m}$und n₁, n₂ = 1,2,3,4... und n₁ < n₂

für n₁ = 2 ergeben sich die Wellenlängen, die auch mit der Balmer-Formel berechnet werden können. Setzt man aber n₁ = 1 oder 3 fest und variiert n₂ so ergeben sich Wellenlängen, die im ultravioletten und im infraroten Bereich des Lichtes liegen und somit für das menschliche Auge nicht sichtbar sind. Im Jahr 1906 konnte der Physiker Theodore Lyman die Wellenlängen im ultravioletten Bereich für n₁ = 1 nachweisen und 1908 konnte der Physiker Friedrich Paschen die Wellenlängen im infraroten Bereich für n₁ = 3 nachweisen. Damit wurden die Vorhersagekraft und die Richtigkeit der Rydberg-Formel bestätigt.