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Baustein 7.3 Energiestufen

Wir können diese Stufen aber nicht nur anhand ihrer Energie identifizieren, sondern ihnen auch ganze Zahlen zuweisen, denn im Jahr 1885 entwickelte der Mathematiker Johann Jakob Balmer eine Formel, die den mathematischen Zusammenhang zwischen den Wellenlängen des sichtbaren Wasserstoffspektrums zeigen konnte. Die Linien konnten nicht mehr nur beobachtet, sondern auch berechnet werden. Die heute als Balmer Formel bekannte Gleichung lässt sich folgendermaßen darstellen:

\(\lambda=A\left(\frac{n^2}{n^2-2^2}\right)\)

mit A = 364,56 nm und n = 3,4,5,...

Aufgabe

Überprüfe, ob die Balmer-Formel die richtigen Wellenlängen für das Emissionsspektrum des Wasserstoffs liefert, indem du λ für n = 3,4,5,6 berechnest.

Berechne auch die Wellenlänge λ für n = 7,8,9.

Balmers Formel sagte auch voraus, dass Wasserstoff weitere Linien im Bereich des ultravioletten Lichts aussenden müsse, die man mit dem bloßen Auge nicht erkennen kann. Das sind die Wellenlängen, die du für n = 7,8,9 berechnet hast. Die Entdeckung dieser Linien kurze Zeit später zeigte, dass Balmers Formel korrekt war.

1888 veröffentlichte der Physiker Johannes Rydberg eine Verallgemeinerung der Balmer-Formel:

\(\frac{1}{\lambda}=R_\infty\cdot\left(\frac{1}{{n_1}^2}-\frac{1}{{n_2}^2}\right)\)

mit \(R_\infty\)= 1,097 • 107 \(\frac{1}{m}\)und n1, n2 = 1,2,3,4... und n1 < n2

für n1 = 2 ergeben sich die Wellenlängen, die auch mit der Balmer-Formel berechnet werden können. Setzt man aber n1 = 1 oder 3 fest und variiert n2 so ergeben sich Wellenlängen, die im ultravioletten und im infraroten Bereich des Lichtes liegen und somit für das menschliche Auge nicht sichtbar sind. Im Jahr 1906 konnte der Physiker Theodore Lyman die Wellenlängen im ultravioletten Bereich für n1 = 1 nachweisen und 1908 konnte der Physiker Friedrich Paschen die Wellenlängen im infraroten Bereich für n1 = 3 nachweisen. Damit wurden die Vorhersagekraft und die Richtigkeit der Rydberg-Formel bestätigt.

Frage

In Baustein 7.1 haben wir festgestellt, dass die Ursache, warum Atome eines Elements immer genau ein spezifisches Linienspektrum aussenden, im Aufbau der Atome selbst liegen muss.

Nun haben wir, mit Hilfe der Beziehung zwischen Wellenlänge und Energie von Einstein und den Formeln von Balmer und Rydberg festgestellt, dass Atome unterschiedliche Energiestufen einnehmen können und die Übergänge zwischen diesen Stufen die Ursache für die spezifischen Linienspektren sind. Es bleiben aber die Frage offen:

  • Was haben alle Atome eines Elements gemeinsam?

Und daraus folgend die Frage:

  • Welcher "Bestandteil" des Atoms nimmt die Energie auf und gibt sie wieder ab, sodass Linienspektren entstehen?​​​​​​​

Auflösung der Fragen

Unser bisheriges Modell über den Aufbau eines Atoms beinhaltet den Atomkern, der aus Protonen und Neutronen zusammengesetzt ist, sehr klein im Vergleich zur Größe des ganzen Atoms ist und den Großteil der Atommasse ausmacht, und die Atomhülle, in der sich die Elektronen befinden.

Alle Atome eines Elements besitzen die gleiche Anzahl an Protonen im Kern und die gleiche Anzahl an Elektronen in der Hülle. Das ist es, was alle Atome eines Elements gemeinsam haben.

Welche Teilchen der Atome sind nun in der Lage bei einer Anregung Energie aufzunehmen?

Die Protonen sind fest im Atomkern gebunden und können nur durch einen Beschuss mit anderen Teilchen aus ihm herausgelöst werden (siehe: Bausteine des Kerns 1).

Die Verteilung der Elektronen in der Atomhülle ist uns noch nicht bekannt, aber sie sind dort nicht so fest gebunden wie die Protonen im Kern und können daher leicht durch die Zufuhr von Energie angeregt werden und zwischen Energiestufen "hin und her springen".

Die ganzen Zahl n1 und n2 stehen also für die Energiestufen, zwischen denen die Elektronen in der Atomhülle übergehen. Mit Hilfe der Formeln von Balmer und Rydberg können wir uns ein Bild vom Aufbau der Elektronenhülle machen. Die Elektronen können sich auf bestimmten Energiestufen befinden, denen wir ganze Zahlen zuordnen können.

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Hinweis für Lehrkräfte

Im Original lautet die Formel von Balmer:

\(\lambda=h\left(\frac{m^2}{m^2-n^2}\right)\)

\(mit\ h=3645,6\ \frac{mm}{{10}^7}=364,56\ nm \ und\ n\ fest\ und\ m>n,\ fortlaufend\)

(Balmer, J. J. (1885))

Die Formel wird hier, mit Verzicht auf die historische Genauigkeit, vereinfacht und geändert, um nur die Linien der Balmer-Serie beschreiben zu können und die Zählvariable wie auch in der Rydberg-Formel n ist. Außerdem wird so eine Verwechslung der Konstante h mit dem Planckschen Wirkungsquantum h vermieden.

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